习题册第六章-定积分的应用答案

第六章定积分的应用第33次平面图形的面积一、求由曲线,xxyeye与直线1x所围成平面区域的面积.解11001()d2xxxxAeexeeee二、求由抛物线22yx轴与直线220xy所围成平面区域的面积.解解方程组22220yxxy，得交点1,12，(2,2)122312291d22464yyyyAxy三、求由曲线2(2cos)ra所围平面图形的面积.解22200122(2cos)d4(44coscos)d2Aaa22001cos2444sin4d2aa22201162sin2182aaa第34次立体的体积一、计算底面是半径为R的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积.解设底圆方程为222xyR，x处平面截面为等边三角形，其底边长为222Rx，高为2222tan3()3RxRx，面积为222223()2RxRx32223004323()d2333RRxVRxxRxR二、由3xy，2x，0y所围成的图形，分别绕x轴及y轴旋转，计算所得两旋转体的体积.解226700128d77xVxxx852833003966448d3232555yVyyx三、求由曲线xysin和它在2x处的切线以及直线x所围成的图形的面积和它绕x轴旋转而成的旋转体的体积.解22(1sin)dcos12Axxxx222221sindsin222224xVxxxx第35次曲线的弧长一、计算曲线33xyx上对应于31x的一段弧的长度.解122xyx23333211111141dd23223322xxsxxxxxx二、求曲线21arctan,ln(1)2xtyt从0t到1t段上的弧长.解221(),()11txtyttt22112220011dd111tsxtttt令tantu，0,0tu；1,4tu4400secdlnsectanln(21)suuuu第36次总复习题一、求抛物线2yx与24yx所围成图形的面积.解22223202162(4)d2433Ayyxyy二、求位于曲线xye下方，该曲线过原点切线的左方以及x轴上方之间的无界图形的面积.解设该曲线过原点切线的切点为00(,)xxe，则切线方程为000()xxyeexx将(0,0)代入上式得01x，故切线方程为yex所求无界图形的面积为1010200d()d11222xxxxeeeexeexxeexe三、求星形线33cos,sin,xatyat(02)t围成图形的面积、全周长及绕x轴所成旋转体体积.解由图形的对称性得00320224d4()()d4(sin)(3cossin)daAyxytxttatattt242242220012sincosd12sin(1sin)datttattt232201cos21cos212d22ttat232201cos2cos2cos212d8tttat22222220003131cos43sin2dcos2dsin222224tattatatt222222003313sin4(1sin2)dsin24444aattatt2222303313sin2sin28438aaatt22()3cossin,()3sincosxtattytatt222222222004(3cossin)(3sincos)d49cossindsattatttattt222200012cossind12sindsin6sin6atttattata将33cossinxatyat化为222333xya32242242223333330002d2d233daaaxVyxaxxaaxaxxx4527223333330991322573105axaxaxxa四、求曲线lnyx在区间(2,6)内的一条切线，使得该切线与直线2,6xx及曲线lnyx所围成的图形面积最小，并计算该最小面积值.解设切线的切点为00(,ln)xx，则切线方程为0000011ln()ln1yxxxyxxxx60201ln1lndAxxxxx6666200222002116(ln)lnd4ln4lnd2xxxxxxxxxxxx00164ln6ln62ln2xx0(2,6)x200164Axx，令0A，得04x故所求切线为1ln414yx，该最小面积值为44ln46ln62ln244ln26ln3