图论课件--平面图的判定与涉及平面性的不变量

1图论及其应用应用数学学院2本次课主要内容(一)、平面图的判定(二)、涉及平面性的不变量平面图的判定与涉及平面性的不变量3这次课要解决的问题是：给出判定一个图是否是可平面图的充分必要条件。(一)、平面图的判定在本章第一次课中，我们已经明确：对于3阶以上的具有m条边的图G来说，如果G满足如下条件之一：(1)m3n-6;(2)K5是G的一个子图；(3)K3,3是G的一个子图，那么，G是非可平面图。但上面的条件仅为G是非可平面图的充分条件。最早给出图的平面性判定充要条件的是波兰数学家库拉托斯基(30年代给出)。后来，美国数学家惠特尼，加拿大数学家托特，我国数学家吴文俊等都给出了不同的充要条件。4所以，我们称K5与K3,3为库拉托斯基图。我们主要介绍波兰数学家库拉托斯基的结果。库拉托斯基定理主要基于K5和K3,3是非可平面图这一事实而提出的平面性判定方法。一个自然的猜测是：G是可平面图的充分必要条件是G不含子图K5和K3,3。上面命题必要性显然成立！但充分性能成立吗？十分遗憾！下面例子给出了回答：NO!下面的图G是一个点数为5，边数为9的极大平面图。考虑F=G×K35注：F由G的3个拷贝组成，分别是G1,G2,G3。三个拷贝中的边没有画出。图中虚线不是对应的Gi中边。Gu5u4u3u2u1v5v4v3v2v1w5w4w3w2w13FGKG3G2G16可以证明：F中不含K5和K3,3，且F是非可平面图。尽管我们的直觉猜测错了，但库拉托斯基还是基于K5与K3,3得到了图的平面性判据。1、相关概念定义1在图G的边上插入一个2度顶点，使一条边分成两条边，称将图在2度顶点内扩充；去掉一个图的2度顶点，使关联它们的两条边合并成一条边，称将图G在2度顶点内收缩。在2度顶点内收缩在2度顶点内扩充7定义2两个图G1与G2说是同胚的，如果，或者通过反复在2度顶点内扩充和收缩后能够变成一对同构的图。12GGG3G2G1上面的G1,G2,G3是同胚的。注：图的平面性在同胚意义下不变。8定理1(库拉托斯基定理)图G是可平面的，当且仅当它不含K5或K3,3同胚的子图。例1求证：下面两图均是非平面图。图G1图G2证明：对于G1来说，按G1在2度顶点内收缩后，可得到K5。所以，由库拉托斯基定理知G1是非可平面图。9对于G2来说，先取如下子图G2的一个子图对上面子图，按2度顶点收缩得与之同胚子图K3,3:K3,3所以，G2是非可平面图。10例2确定下图是否是可平面图。u1u2v1v2y1y2x1x2w1w2分析：我们根据图的结构形式，怀疑该图是非可平面图。但我们必须找到证据！当然我们可能考虑是否m3n-6。遗憾的是该图不满足这个不等式！11u1u2v1v2y1y2x1x2w1w2所以，我们要在该图中寻找一个与k5或K3,3同胚的子图！由于该图的最大度为4的顶点才4个，所以，不存在与K5同胚的子图。因此，只有寻找与K3,3同胚的子图！解：取G中红色边的一个导出子图：也就是得到G的如下形式的一个子图：12上图显然和K3,3同胚。由库拉托斯基定理知，G是非可平面的。u1u2v1v2y1y2x1x2w1w2注：(1)库拉托斯基定理可以等价叙述为：库拉托斯基定理：图G是非可平面的，当且仅当它含有K5或K3,3同胚的子图。13(2)库拉托斯基(1896---1980)波兰数学家。1913年开始在苏格兰格拉斯哥大学学习工程学，1915年回到波兰发沙大学转学数学，主攻拓扑学。1921年获博士学位。1930年在利沃夫大学作数学教授期间，发现并证明了图论中的库拉托斯基定理。1939年后到发沙大学做数学教授。他的一生主要研究拓扑学与集合论。库拉托斯基定理：图G是非可平面的，当且仅当它含有K5或K3,3同胚的子图。定义2给定图G,去掉G中的环，用单边代替平行边而得到的图称为G的基础简单图。14定理2(1)图G是可平面的，当且仅当它的基础简单图是可平面的；(2)图G是可平面图当且仅当G的每个块是可平面图。证明：(1)由平面图的定义，该命题显然成立。(2)必要性显然。下面证明充分性。不失一般性，假设G连通。我们对G的块数n作数学归纳证明。当n=1时，由条件，结论显然成立；设当nk时，若G的每个块是可平面的，有G是可平面的。下面考虑n=k时的情形。15设点v是G的割点，则按照v，G可以分成两个边不重子图G1与G2,即G=G1∪G2,且G1∩G2=｛v｝。vG2G1按归纳假设，G1与G2都是可平面图。取G1与G2的平面嵌入满足点v都在外部面边界上，则把它们在点v处对接后，将得到G的平面嵌入。即证G是可平面图。关于图的可平面性刻画，数学家瓦格纳(Wangner)在1937年得到了一个定理。16定义3设uv是简单图G的一条边。去掉该边，重合其端点，在删去由此产生的环和平行边。这一过程称为图G的初等收缩或图的边收缩运算。称G可收缩到H,是指对G通过一系列边收缩后可得到图H。定理2(瓦格纳定理)：简单图G是可平面图当且仅当它不含有可收缩到K5或K3,3的子图。注：这是瓦格纳1937年在科隆大学博士毕业当年提出并证明过的一个定理。17例3求证彼得森图是非可平面图。证明：很明显，彼得森图通过一些列边收缩运算后得到K5。由瓦格纳定理得证。定理3至少有9个顶点的简单可平面图的补图是不可平面的，而9是这个数目中的最小的一个。18注：该定理是由数学家巴特尔、哈拉里和科达马首先得到。然后由托特(1963)给出了一个不太笨拙的证明，他采用枚举法进行验证。还不知道有简洁证明，也没有得到推理方法证明。例4找出一个8个顶点的可平面图，使其补图也是可平面的。76543218G76543218G的补19例5设G是一个简单图，若顶点数n≥11,则G与G的补图中，至少有一个是不可平面图(要求用推理方法).证明：设G是一个n阶可平面图，则：()36mGn所以：(1)()()()(36)2nnnmGmKmGn考虑：2(1)1()(36)2(36)(1324)22nnmGnnnn20令:则：所以，当n≥6.5时，f(n)单调上升。而当n=11时：21()(1324)2fnnn13()2fnn(11)0f所以，当n≥11时，有：()(36)mGn即证明了简单可平面图G的补图是非可平面图。21例6设Gi是一个有ni个点，mi条边的图，i=1,2。证明：若G1与G2同胚，则：证明：设G1经过p1次2度顶点扩充，p2次2度顶点收缩得到H1,G2经过q1次2度顶点扩充，q2次2度顶点收缩得到H2,使得：1221nmnm又设H1与H2的顶点数分别为n1*和n2*,边数分别为m1*与m2*。那么：12HH1112*nnPP1112*mmPP2212*nnqq2212*mmqq22所以：而由得：12HH12121212**nmnmPPqq1212**,**mmnn21211212**nmnmPPqq所以：1221nmnm(二)、涉及平面性的不变量我们将要讨论的问题是：如何刻画一个非可平面图与平面图之间的差距。只作简单介绍。1、图的亏格23环柄：边交叉处建立的“立交桥”。通过它，让一条边经过“桥下”，而另一条边经过“桥上”，从而把两条边在交叉处分开。环柄示意图定义4若通过加上k个环柄可将图G嵌入到球面，则k的最小数目，称为G的亏格，记为：γ(G)。24定理4对于一个亏格为γ，有n个顶点，m条边和ф个面的多面体，有：因多面体对应一个连通图，所以上面恒等式称为一般连通图的欧拉公式。22nm推论：设G是一个有n个点m条边，亏格为γ的连通图，则：11(1),(2)62mn11(2),(2)42Gmn若无三角形，则：25证明(3):因为G的每个面是三角形，所以每条边是两个面的公共边，得：3ф=2m。于是由定理4得：(3),=3(2+2)Gmn若每个面是三角形，则：(4),=2(2+2)Gmn若每个面是四边形，则：=3(2+2)mn对于完全图的亏格曾经是一个长期的，有趣的，困难的和成功的努力。1890年希伍德提出如下猜想：(3)(4)()(*)12nnnK26希伍德由推论(1)证明了：(3)(4)()12nnnK同时希伍德也证明了γ(K7)=1.1891年，赫夫曼对n=8---12进行了证明；1952年，林格尔对n=13进行了证明；记阶数n=12s+r1954年，林格尔对r=5进行了证明；1961--65年，林格尔对r=7、10、3进行了证明；271961--65年，杨斯、台里等对r=4、0、1、9、6进行了证明；1967--68年，林格尔、杨斯对r=2、8、11进行了证明；1968年后，法国蒙特派列尔大学文学教授杰恩对n=18、20、23进行了证明.对于完全双图，结果由林格尔独立得到。定理5设m,n是正整数，则：(3)(4)()12nnnK,(3)(2)()4mnmnK282、图的厚度定义5若图G的k个可平面子图的并等于G，则称k的最小值为G的厚度，记为()G定理6(1)若,则：4(mod6)9nn或7()6nnK(2),()2(2)mnmnKmn(3)对任意的单图G=(n,m),有：36mn3、图的糙度29定义6图G中边不相交的不可平面子图的最多数目称为G的糙度，记为：()G定理7完全图的糙度由下式给出：303,52153,23nnnnnKn32213nnKn（3n+1≥19并且3n+1≠9r+7，其中r为面数）；15114223nnKn30定义8将G画在平面上时相交的边对的最少数目称为G的叉数，记为G定理9232221241nnnnKn212212,nnmmKnm31作业P143---146习题5：6，7，8，11、12。32ThankYou!