竞赛数学(张同君陈传理)数论3(不定方程)

数论不定方程不定方程未知数的个数多于方程个数的整系数代数方程，称为不定方程。求不定方程的整数解，称为解不定方程。解不定方程的问题方程是否有解？有解时，有多少解？解数是有限还是无穷？求出全部解。解不定方程的基本方法分解方法同余方法估计方法一次不定方程00,0axbycab整系数方程通常称为二元一次不定方程。二元一次不定方程的解,,,0,0,|.axbycabcZababc二元一次不定方程有整数解的充分必要条件是二元一次不定方程的解0000,1,,,,,0,0,,.,abxyaxbycabcZabxxbttZyyat若且为二元一次不定方程的一组解（通常称其为一组特解）则方程的全部解（通常称其为通解）为例题1371075.xy例：求不定方程的整数解0037:10737111,331110722241371113384137,410719.1262118372610791,5,37130107455.130,45.xyx先将化成连分数将右端连分数中的删去得到的渐进分数于是有两端乘有即得方程一组特解从而通解为130107,.4537,ttZyt多元一次不定方程的解112212,,,|.nnnaxaxaxNaaaN多元一次不定方程有解的充要条件是例题2251374.xyz例：求不定方程的整数解11,2513,74.,13,225,uZxyuuzxyxutyut设考虑方程组①②视①为关于和的二元一次不定方程容易解得方程①与方程②的通解分别为122222121122.37,.1,37,3713,61425,,.1,tZuttZztutxyzxttyttttZzt与将代入与的表达式并与的表达式写在一起即得原方程的通解高次不定方程解高次不定方程是非常困难和复杂的，常无定法。我们通过一些例题介绍几种基本解法。例题2232370xyxy例：求不定方程的整数解。222222361.321,31,31,21,21.,2,2,1.1.xyxyxyxxyyxxyy方程变形为分解因式有于是有或后一组无整数解前一组有整数解例题224252260.xxyyxy例：求不定方程的整数解2226,2216616231623,4:21,26,22,23,216.211.213.212.xyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxy方程变形为分解因式有注意到其中有整数解的仅有种情况最后得原方:3,2,2,1,1.4.0.1.xxxxyyyy程四组整数解注：例3与例4的解本解法都是分解方法，即将常数项在等式两边适当调整后，将左边的整式因式分解，将右边的整数因数分解，最后化为两个低次的方程组成的方程组求解。例题225142421412180.xxyyxy例：求不定方程的整数解2222222313220,3220,20,1,4,24,1203242.22,31xyxyxyxyxyxyxyxy方程变形为从而有于是有分情况讨论后知道只有时才能使是平方数从而有2.1,0.xy最后解得一组整数解222222144242112180,44244142112180,75601280,0.961.76,,0,1,0,1,1,.xyxyybacyyyyyyyyyxy方程变形为从而有即解得由于是整数于是有当时当时无整数解最后解得一组整数解1,0.xy例题3361072xy例：求不定方程的正整数解。333333332536,536,..8536107211,910.10,72;9,3437.9,7,7.9.xyxyyxxxxyxyxxyy因为而非立方数所以不妨设于是有即有当时无整数解当时所以原方程有两组正整数解注：例5与例6的基本解法都是估计方法。即通过放缩不等式得到整变量的上界与下界，从而只有有限多组可能的解，然后用枚举的方法逐一验证并求出。例题444222222722240xyzxyyzzx例：求不定方程的整数解。44422222222222440.40..,,,;,0mod16,xyzxyyzzxxyxyzxyzxyzxyz方程变形为分解因式有注意到左边四个因式的奇偶性相同若四个因式全为奇数则左边为奇数而右边为偶数矛盾若四个因式全为偶数则左边右边0mod16.!.也矛盾所以原方程无整数解例题28,,1!2!!.mnmn例：求所有的正整数使得24,1,3,1.3.5,5:1!2!!1!2!3!4!3mod5,0,1mod5.5.5mmmnnmmnm当时通过简单的计算容易得到两组正整数解当时考虑等式两边模左边右边由于等式两边模不同余所以时无正整数解.,1,3,1.3.mmnn综上方程仅有两组正整数解注：例7与例8的基本解法是同余方法，应用同余方法时需要选择适当的模，这要依具体情况通过尝试来确定。佩尔方程221,0..xdydZd形如且非平方数的二元二次不定方程称为佩尔方程111111,,.xyxdyxy定义：设正整数和是佩尔方程的所有正整数解中使最小的一组解则称是佩尔方程的基本解佩尔方程佩尔方程的解11113.4,,,,,.xyxyxxyy定理：佩尔方程一定有正整数解定理：设是佩尔方程的基本解则对其任意一组正整数解必有佩尔方程的解11111111111111111151,21.2,,1,2,.2,2.nnnnnnnnnnnnnnnxxdyxdyyxdyxdydxynxydxydxxxxyxyy定理：佩尔方程有无穷多组正整数解，且全部正整数解由下式给出：其中是基本解上式也可以写成或递推公式例题221171.xy例：求出不定方程的三组正整数解1122222211,.,1,2,3,1,178;2,1729;3,17648.,8,3.1837837,21837837.27nnnnnnxyyyyxyyxyyxyxy先求基本解用尝试的方法令时时时所以基本解为再写出方程的全部解22333121231,2,2,127,48;3,2024,765.,2024,8,127,3.48.765.nnxynxyxxxyyy时解得时解得综上得到方程的三组正整数解例题121,:,111.knknkn例：设是给定的整数证明存在无穷多个整数使得及都是完全平方数2222111.1,11.,11,,knknknuknvnkukvuvnv设与都是完全平方数令消去有①注意到对①的任意一组正整数解取2222222222222222,1111,1111111111.111..uknkvukvkukukuuknkvukvkukvkvvknkn有即与都是完全平方数于是问题只须证明方程①存在无穷多组正整数解22221,.111.,.,1.,.xkukvyvuxkkykukvuxkyvxky令②由方程①有这是一个佩尔方程它有无穷多组正整数解由方程②解得从而方程①有无穷多组正整数解问题得证例题3333131999.xyzt例：证明不定方程有无穷多组整数解3333222111010011999.10,10,,1.,,120,21801.,4,1,1219809802nnnxkykzmtmkmZkmmmkmkmkm注意到于是我们寻找如下形式的整数解代入方程化简可知满足即有这是佩尔方程易知是其基本解全部正整数解为,1,2,1980980.280.nnnnk所以原方程有无穷多组整数解练习22222223410.45169.257.230.xyzxxyyxyxyyx1.求三元一次不定方程的解2.求解不定方程3.求解不定方程4.求解不定方程