竞赛数学(张同君陈传理)代数2(数列)

代数数列等差数列的性质12121,.2,,,.3,.nnknnnnnmnpqaakabcacbccamnpqaaaa为等差数列则为常数仍为等差数列为等差数列则为常数仍为等差数列为等差数列则的充要条件是等差数列求和公式11212nnnaanSnndSna等比数列的常用性质12121,.2,,,.3,.nnknnnnnmnpqaakabcacbccamnpqaaaa为等比数列则为常数仍为等比数列为等比数列则为常数仍为等比数列为等比数列则的充要条件是等比数列求和公式1111111nnnnqSaqqaaqSqq例题14,100,?例：设各项为实数的等差数列的公差为其首项的平方与其余各项之和不超过试问这样的数列至多有多少项1221231121221122,,,4,1004411100,21221000.142nnaaaaaaaaanananannnn不妨设等差数列的公差为由题设条件可得即整理得当且仅当1221000,.32816328160764010,.7732816328160,89,778,8.nannnn时至少存在一个实数满足上不等式于是由得即注意到故满足条件的自然数的最大值为即满足题设条件的数列至多有项例题21112131212223212324424311223324:,1,.1,,83,.16nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaa例：个正数排成行列其中每一行的数成等差数列每一列的数成等比数列并且所有公比相等已知试求3241134211343111,,,31,1,813.8161,.1,2dqdqaadqaadqadqadqkn解：设第一行数列公差为各列数列公比为则第四行数列公差是于是解此方程组得对任意有11111223111,21112,22211112,2222kkkkkknnaaqakdqkSnSn故①又112.22nnnS②①②整理得414243444342342444414411143314112,112,2,164,,11,.221,2.21,.321.aaaaaaqaaaqaaaaqqaadd解：由于各行成等差数列所以再由各列成等比数列设公比为得故从而求出设第一行公差为则以下解法同解例题22111212213,,,,.nnnnMnaaMaaSaaa例：给定正数和正整数对满足条件的所有等差数列试求的最大值112212222222111,,11,2.2141443.102101011012nnnnndaannSaaanadnSadnndSMaaandaaandnSnM解：（配方法）设公差为则固有于是因此22211341,,,1010341510111.2101010441043,.10110410,1.2naMdMnSnMMnMnMnSandaaMMnSnM且当时由于此时故所以的最大值为22111111122111213.1111,222.312,319410nnaandaandMnnnnSnadSnanddSdaSnSdaaaMna解：（函数方法）由得①再由得即将带入①式得即21222122221max40.9191944,0.1091910,0,4104104,1.9192912100,,10,1.1052SSaMnnSSfxxxMfannfxSSMSnMnnMadMSnMn令则上式为由于有解所以即所以当时即时例题41,2,,,,,,,.,,.SnASSAAA例：设为至少含有两项、公差为正的等差数列其项都在中且添加的其他元素于中均不能构成与有相同公差的等差数列求这种的个数这里只有两项的数列也可看作等差数列21,11.1,:1,.211,,,212121;224AddnnnddAdndndAndnAnnnn解：设的公差为则当为偶数时讨论如下若时公差为的有个若时公差为的有个故为偶数时这种共有个222,:11,.211,,,21111212.224:.4nnddAdndndAndnAnnnnA当为奇数时讨论如下若时公差为的有个若时公差为的有个故为奇数时这种共有个两种情况可统一为合于条件的共有个22222,,1,2,,,1,2,,,,1,2,,,1,2,,,,..421,,{1,2,1,}1,1.4nkAkkknkkknAnAknkkknnkAkk解：对于必有连续两项一项在另一项在中反之从中任取一个数中任取一个数以它们的差为公差可作出一个这个对应为一一对应由此可知的个数为对于情况完全类似注意到集合中有个数故的个数为2213,,1,,2121.21.22.nnaAadnaadnaaAnaanannAanannA解：设的首项为公差为则故以为首项的有个于是的个数为个再分为奇偶数分别给出的个数练习12341::.39278132:1/1.nnnSnnn求和求数列的前项和构造等差或等比数列在有些题目中,没有直接出现等差(比)数列,但可以通过已知条件构造出等差(比)数列,以达到简化求解的目的.例题01212101,,,,221,.nnnnnnaaaaaaaanaa正数列满足且求通项12121121121101221,121.1,12,2,12,nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaabbaaaba由得即令则是首项为公比为的等比数列所以所以2121211121021,21.nnnnknnnknnaaaaaaaaaaa所以不完全归纳法不完全归纳法是从特殊情况出发去总结更一般的规律,当然结论未必都是正确的,但却是人类探索未知世界的普遍方法.通常解题方式为:特殊→猜想→数学归纳法证明.例题21121,,21,.nnnnaaaaanana已知数列满足求通项221122212331232121211212111,2,,3,23211,1.314311;1)1,,.2).211,,1,11nkkkaaaaaaaaaaaaannnnanknkaaakaaaak解：因为又所以而得猜想证明当时猜想正确假设当时猜想成立当时由归纳假设及题设11111,1112,213211111112,2,2231111.,.121kkkkknakkakkkkkakkakkkaakknn所以即所以所以由数学归纳法可得猜想成立所以212212-112222111112112121,,1,11,111,.1123111.11321nnnnnnnnnnnnnnnnnnaaanaaaanaananananaannanaanaaaaaaaannnnnnnn解：由得两式相减得即即数列求和数列求和除已知等差、等比数列求和公式外主要有倒序相加、裂项求和、错项相消等。例题10099129911,2,,42.nnanSaaa已知求1001001001001001001001001001001001001001001009999100100111424222444224422441,222244119999222nnnnnnnnnnnnnnnaaSaa因为所以101.2例题111:.12323412nSnnn求和112111,(1)(2)2(1)(2)2(1)(1)(2)1(1)(2)1111111212232334(1)(1)(2)11111.22(1)(2)42(1)(2)nnkkkkkkkkkkkkkSkkknnnnnnnn一般地所以例题1221,:2.21,,nnnnnnnnaaaaaaSanS的前项已知数列满证为列求足和数23456234512223212211112358,222222211123.222222111112,22222222,1,1,2,3,5,8,1111.0,224223.112nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaSaSaaSaaSSSSSa因为所以两式相由递推公式可知数列前几减得所以又因为且为所以项111,,2,.2442nnnSSS所以所以得证差分数列1212111011,,.,.,,,.,.nnnnnnnnnnnnnnkkknnnnknnnnnnaaaaaaaaaaaaaakNaaaakaakaaaa定义：对于数列称为的一阶差分为数列的一阶差分数列数列的一阶差分称为的二阶差分为的二阶差分数列一般地对于称为的阶差分为的阶差分数列约定差分数列的性质1212121111111111,1,;2;3.nnnnnnnnnnnnnnnnnnkknnkkkkabcacbcacbccababbaabbaabababba定理：对于数列有高阶等差数列2,,,.2,,.knnnakaakkk定义：对于数列若有正整数使是非零常数列则称为阶等差数列当时阶等差数列称为高阶等差数列常数列称为零阶等差数列高阶等差数列的性质01221111111111232111112,.3,,1,.nnkknnnnnnnnkknnnnnakankaCaCaCaCaaknSSkSCaCaCaCa定理：是阶等差数列的充要条件为是的次多项式且定理：若是阶等差数列它的前项和为则是阶等差数列且1122111111121,:,,,;,23,,,nnnnnnnnkknkkkknnnaaaaaaaaaaaaaaaaaS求高阶等差数列的通项及前项和的方法大致可分为两类一类是