4-2高三复习周精讲精练-同角三角函数的关系及诱导公式

《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页●基础知识《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页二、同角三角函数的诱导公式1．诱导公式的内容《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页2.诱导公式的规律诱导公式概括为：“k·±α”，(k∈Z)的正弦，余弦值，当k为偶数时，得角α的同名三角函数值；当为奇数时，得角α相应的余弦函数值；然后放上把角α看成角的原函数所在象限的符号，可概括为“奇变偶不变，符号看象限．”k锐《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页3．诱导公式的作用诱导公式可以将任意角的三角函数转化为0°～90°角的三角函数值．三、sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα三者之间的关系(sinα＋cosα)2＝；(sinα－cosα)2＝；(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝；(cosα＋cosα)2－(sinα－cosα)2＝.1＋2sinαcosα1－2sinαcosα24sinαcosα《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页●易错知识一、在诱导公式中，把α看作锐角，将kπ±α所在象限搞错．答案：01.2cos660°＋sin630°3cos1022°＋2cos(－671°)＝________.《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页2.sin(π2＋α)·cos(3π－α)·tan(π＋α)cos(π2－α)·cos(－α－π)＝________.答案：1《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页二、分类讨论失误．3.sin(kπ－α)·cos[(k－1)π－α]sin[(k＋1)π＋α]·cos(kπ＋α)＝________.(k∈Z)答案：－14．cos(4n＋14π＋α)＋cos(4n－14π－α)＝________.(n∈Z)答案：(－1)n2cos(π4＋α)《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页解析：cos300°＝cos(360°－60°)＝cos60°＝12.答案：C●回归教材1．(2010·全国Ⅰ，1)cos300°＝()A．－32B．－12C.12D.32《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页2．(2010·全国Ⅱ，13)已知α是第二象限的角，tanα＝－12，则cosα＝________.解析：由三角函数中同角公式：1＋tan2α＝1cos2α，可得cos2α＝45.因为α是第二象限的角，所以cosα0，因此cosα＝－255.答案：－255《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页3．(教材P363题改编)sin(π－2)－cos(π2－2)化简的结果为()A．0B．－1C．2sin2D．－2sin2解析：sin(π－2)－cos(π2－2)＝sin2－sin2＝0.答案：A《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页解析：∵cos(π＋α)＝32(π＜α＜32π)，∴cosα＝－32，∴sin(2π－α)＝－sinα＝1－cos2α＝12.答案：D4．设cos(π＋α)＝32(π＜α＜32π)，那么sin(2π－α)的值为()A．－12B.32C．－32D.12《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页5．(教材P979题改编题)已知tanθ＝2，则sinθcosθ的值为________．解析：sinθcosθ＝sinθcosθsin2θ＋cos2θ＝tanθ1＋tan2θ＝25.答案：25《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页已知一个角的某个三角函数值，求出这个角的其他五种三角函数值．要注意公式的合理选择，利用平方关系时，要特别注意符号的选取．这也是分类讨论的标准．【例1】(1)已知sinα＝13，求tanα.(2)已知sinα＝m(m≠0，m≠±1)，求tanα.《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页解析：(1)∵sinα＝130，∴α为第一或第二象限角．当α为第一象限角时，cosα＝1－sin2α＝223，∴tanα＝24；当α为第二象限角时，cosα＝－223，∴tanα＝－24.《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页(2)∵sinα＝m(m≠0，m≠±1)，cosα＝±1－sin2α＝±1－m2(当α为一、四象限时取正号，当a为二、三象限时，取负号)．∴当α为一、四象限时，tanα＝m1－m2；当α为二、三象限时，tanα＝－m1－m2.《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页点评：本例属同角三角关系式中的基本题，关键是掌握“先开方，后作商”的原则，先求与sinα的平方关系相联系的cosα，再由公式求tanα.在(2)中，α为第四象限角，但tanα＝m1－m2，原因是m此时小于0，所以形式上tanα的表达式前面仍不带负号．《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页(2010·湖北武汉调研)已知tanα＝－12，π2απ，则sinα等于()A.255B．－55C．－255D.55《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页解析：依题意，得sinα＝sinαsin2α＋cos2α＝11＋cot2α＝11＋(－2)2＝55，选D.答案：D《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页解析：由sin(π＋α)＝－12，则sinα＝12.∴cosα＝±1－sin2α＝±32.故选D.答案：D已知sin(π＋α)＝－12，那么cosα的值为()A．±12B.12C.32D．±32《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页诱导公式的重要作用在于它揭示了终边相同的角或终边具有一定对称关系(关于原点、坐标轴)的角的三角函数间的内在联系，从而可以将任意角转化为锐角来研究，其解题思路是化负角为正角，化非锐角为锐角．《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页【例2】已知α是第四象限的角，且f(α)＝sin(π－α)cos(2π－α)tan－α＋3π2cot(－α－π)sin(－π－α)；(1)化简f(α)；(2)若cosα－3π2＝15，求f(α)的值；(3)若α＝－1860°，求f(α)的值．《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页解析：(1)f(α)＝sinα·cosα·cotα(－cotα)sinα＝－cosα；(2)∵cosα－3π2＝cosπ2＋α＝－sinα，∴sinα＝－15，cosα＝52－15＝256，∴f(α)＝－256；《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页(3)∵－1860°＝－5×360°－60°∴f(－1860°)＝－cos(－1860°)＝－cos(－5×360°－60°)＝－cos(－60°)＝－cos60°＝－12.总结评述：熟练运用诱导公式是本题的关键．《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页(2010·河北石家庄质检)点M(2，tan300°)位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：D解析：∵tan300°＝tan(360°－60°)＝－tan60°＝－3，∴M(2，－3)．故位于第四象限．《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页已知cosα＝13，且－π2＜α＜0，求cot(－α－π)·sin(2π＋α)cos(－α)·tanα的值．分析：从cosα＝13中可推知sinα、cotα的值，再用诱导公式即可求之．《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页总结评述：三角函数式的化简求值是三角函数中的基本问题，也是常考的问题之一.解析：∵cosα＝13，且－π2＜α＜0，∴sinα＝－223，cotα＝－24.∴原式＝cot(－α)·sinαcos(－α)·tanα＝－cotα·sinαsinα＝－cotα＝24.《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页【例3】(2005·福建高考)已知－π2＜x＜0，sinx＋cosx＝15.(1)求sinx－cosx的值；(2)求sin2x＋2sin2x1－tanx的值．《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页命题意图：本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限符号等基本知识，以及推理和运算能力和方程思想．解析：解法一：(1)由sinx＋cosx＝15，平方得sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝125，整理得2sinxcosx＝－2425.《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页即(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝4925.∵－π2＜x＜0，∴sinx＜0，cosx＞0，sinx－cosx＜0，故sinx－cosx＝－75.(2)sin2x＋2sin2x1－tanx＝2sinx(cosx＋sinx)1－sinxcosx《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页＝2sinxcosx(cosx＋sinx)cosx－sinx＝－2425×1575＝－24175.解法二：(1)联立方程sinx＋cosx＝15，①sin2x＋cos2x＝1.②由①得sinx＝15－cosx将其代入②，整理得25cos2x－25cosx－12＝0，∴cosx＝－35或cosx＝45.∵－π2＜x＜0，《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页∴sinx＝－35，cosx＝45.故sinx－cosx＝－75.(2)sin2x＋2sin2x1－tanx＝2sinxcosx＋2sin2x1－sinxcosx＝2·(－35)·45＋2·(－35)21－－3545＝－24175.《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页已知0θπ，且sinθ＋cosθ＝15.求tanθ的值．《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页解答：∵sinθ＋cosθ＝15，∴sin2θ＋2sinθcosθ＋cos2θ＝125.∴2sinθcosθ＝－2425.∴(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝4925.∵sinθcosθ＝－12250.《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页又∵0θπ，∴sinθ0，cosθ0，∴sinθ－cosθ＝75.由sinθ＋cosθ＝15，sinθ－cosθ＝75，得sinθ＝45，cosθ＝－35.∴tanθ＝sinθcosθ＝－43.《走向高考》高考总复习·数学(配统编教材版)第四章三角函数首页上页下页末页总结升华：(1)本题易错点：正确判断角θ所在象限是解题的关键，也是易错点．(2)方法总结：当角θ为第一象限角时，sinθ＋cosθ∈(1，2]；当角θ为第二象限角时，sinθ＋cosθ∈(－1,1)；当角θ为第三