【电动力学课件】4-1-2-平面电磁波-反射和折射

在迅变情况下，电磁场以波动形式存在。变化着的电场和磁场互相激发，形成在空间中传播的电磁波。由于在广播通讯、光学和其他科学技术中的广泛应用，电磁波的传播、辐射和激发问题已发展为独立的学科，具有十分丰富的内容。本章只介绍关于电磁波传播的最基本的理论，下一章再讨论辐射和激发问题。第四章电磁波的传播1平面电磁波是交变电磁场存在的一种最基本的形式。1.无界空间中平面电磁波传播的主要特性2.电磁波在介质界面上的反射和折射从电磁理论出发导出光学中的反射和折射定律．3.有导体存在时的电磁波传播问题。说明电磁波在导体内有一定的穿透深度，在良导体内只有很小部分电磁能量透入，因而良导体成为电磁波存在的边界。主要内容：24.有界空间的电磁波．微波技术中常用的谐振腔，传输线和波导都属于有界空间中的电磁波问题．在这两节中我们以谐振腔和波导为例说明电磁波边值问题的解法．3在没有电荷电流分布的自由空间（或均匀介质）中=⋅∇=⋅∇∂∂=×∇∂∂−=×∇00BDDHBEtt这就是本章研究电磁波的传播所用的麦克斯韦方(1)(2)(3)(4)程组。§4.1平面电磁波一、电磁波的波动方程41.真空中的波动方程:D=ε0E，B=µ0H()2200tεμt∂∂−=×∇∂∂−=×∇×∇EBE，取(1)式的旋度，得()EEE2)(∇−⋅∇∇=×∇×∇0=⋅∇E022002=∂∂−∇∴tEEεµ同理可得022002=∂∂−∇tΒΒεµ5令00/1εµ=c则E和B的方程可以写为012222=∂∂−∇tcEE012222=∂∂−∇tcBB(5)(6)可见，真空中电场和磁场相互作用的结果是：电场分量和磁场分量均以波动形式传播，这就是电磁波。其波速为m/s100.3/1800×==εµc62.介质情形:当以一定角频率ω作正弦振荡的电磁波入射于介质内时，介质内的束缚电荷受电场作用，也以相同频率作正弦振动。在这频率下介质的极化率χe(ω)为极化强度P与ε0E之比，由此可得到这频率下的电容率ε(ω)。在线性介质中有关系波动方程的解包括各种形式的电磁波，所以，真空中一切电磁波（包括各种频率范围的电磁波，如无线电波、光波X射线和γ射线等）都以速度c传播，c是最基本的物理常量之一．)()()(ωωεωED=7)()()(ωωµωHB=由介质的微观结构可以推论，对不同频率的电磁波，介质的电容率是不同的，即ε和µ是ω的函数。)(ωεε=)(ωµµ=ε和µ随频率而变的现象——介质的色散。同样，由于色散，对一般非正弦变化的电场E(t)，关系式D(t)=εE不成立。因此在介质内，不能够推出E和B的一般波动方程。用με代替μ0ε0所得到的方程只能用于单一频率的正弦电磁场，这种单一频率的正弦电磁场称为时谐电磁场。8二、时谐电磁场以一定频率作正弦振荡的波称为时谐电磁波（单色波）。在一般情况下，即使电磁波不是单色波，它也可以用傅里叶（Fourier）分析（频谱分析）方法分解为不同频率的正弦波的叠加。因此，下面只讨论一定频率的电磁波。设电磁场只有一种频率ω，电磁场对时间的依赖关系是cosωt，或用复数形式表为tietω−=)(),(xExEtietω−=)(),(xBxB1.场量的复数形式:9今后，在电磁波的问题中，用E表示抽出时间因子e-iωt以后的电场强度E(x)，同样用B表示B(x)。2.时谐情形下（复数形式）的麦氏方程组:在一定频率下，有D=ε0E,B=µ0H，把上式代入麦氏方程，消去共同因子e-iωt后得00=⋅∇=⋅∇−=×∇=×∇HEEHHEωεωµii注意：在ω≠0的时谐电磁波情形下这组方程不是独立的．（1）（2）（3）（4）10（1）式取散度可以得出（4）式，同样由（2）式可以得出（3）式，只有（1）（2）式是独立的。取第一式旋度并用第二式得EEµεω2)(=×∇×∇EEEE22)()(−∇=∇−⋅∇∇=×∇×∇022=+∇EEk0=⋅∇E（5）（6）µεω=k式中，（5）式即为亥姆霍兹方程。但必须与（6）式联立，才与麦克斯韦方程等价。11解出E后，磁场B可由（1）式求出，EEB×∇−=×∇−=µεωkii亥姆霍兹方程是一定频率下电磁波的基本方程，其解E(x)代表电磁波场强在空间中的分布情况，每一种可能的形式称为一种波模。022=+∇EEk0=⋅∇EEEB×∇−=×∇−=µεωkii所以，一定频率条件下欲求解电磁场的方程为12022=+∇BBk0=⋅∇BBBE×∇=×∇=µεωµεkii也可化为按照激发和传播条件的不同，亥姆霍兹方程的解可以有不同的形式，即存在不同的波模。例如，广播天线发射球面波，传输线和波导传播定向波，激光器激发的是狭窄的高斯光束等，其场强都是亥姆霍兹方程的解。13三、平面电磁波1.沿X轴方向传播的平面波设电磁波沿X轴方向传播，其场强在与X轴正交的平面上各点具有相同的值，即E和B仅与x、t有关，而与y、z无关．这种电磁波就是沿X轴传播的平面波，其波阵面（等相位点组成的面）为垂直于X轴的平面。在这情形下亥姆霍兹方程化为一维的常微分方程0)()(dd222=+xExEkx14它的一个解是ikxe0)(ExE=场强的完整表示式为()tkxietω−=0),(ExEE0是电场的振幅，ei(kx-ωt)代表波动的相位因子。由条件∇⋅E=0得ikex⋅E=0，因此，只要E0与x轴垂直，上式就代表一种可能的模式。以上为了运算方便采用了复数形式，对于实际存在的场强应理解为只取上式的实数部分，即()tkxtω−=cos),(0ExE152.相位因子的意义——相速度kx-ωt表示某点x某时刻t的相位，对于任意常数φ，kx-ωt=φ就给出了相位为φ的点的坐标与时间的关系。可以看出：①等相位的点都在同一个垂直于X轴的平面上，这就是波振面。②不同时刻，波振面处于不同位置，说明波振面在移动。将kx-ωt=φ对时间求导，得到0=−ωkvµεω1==kv16真空中电磁波的传播速度为00/1εµ=c介质中电磁波的传播速度为n/c/cvrr=εµ=其中n就是介质的折射率。3.平面波的一般表达式其中x表示坐标原点到某等相位面的距离，kx即为()tkxietω−=0),(ExE沿X轴方向传播的平面波传播这一距离所对应的相位差。17对于任意方向传播的平面波令k表示一个矢量，其大小为k，方向沿平面波的传播方向。则任意一点P与原点之间的相位差应为kx’，即xk⋅==′θcoskxxk()tietω−⋅=xkEE(x0),µεω==||kk所以，一般情况下的平面表示式为相位差为2π的两个等相面之间的距离称为波长，用λ表示，可得λπ/2=k184.平面电磁波的性质()()EkEkEExkxk⋅=⋅=∇⋅=⋅∇−⋅−⋅ieietitiωω00E可在垂直于k的任意方向上振荡。E的取向称为电磁波的偏振方向（极化方向），可以选与k垂直的任意两个互相垂直的方向作为E的两个独立的偏振方向，对于每一个k，存在两个独立的偏振波。（1）0=⋅Ek由于∇⋅E=0，所以,表示电场波动是横波,19上式同时还说明，E、B、k两两垂直，E×B沿k的方向。（2）kB⊥可见,表示磁场波动是横波。EkE×=×∇iEnEkB×=×=µεµεk（3）E和B同相，振幅比为v==µε1BE真空中c=BE/平面电磁波沿传播方向各点上的电场和磁场瞬时值如图4-2所示（书上）．随着时间的推移，整个波形向x轴方向的移动速度为rrcvεµ=201.电磁场的能量密度()+=⋅+⋅=2212121BEwµεBHDE四、电磁波的能量和能流221BEµε=对于平面电磁波情形所以平面电磁波中，电场能量和磁场能量相等，221BEwµε==有212.电磁场的能流密度()nE2µεµε=××=×=EnEHESvnnSwvww===µε1平面电磁波的能流密度v为电磁波在介质中的相速。由于能量密度和能流密度是场强的二次式，不能把场强的复数表示直接代入。22计算w和S的瞬时值时，应把实数表示代入，得()()[]txkEtxkEwωεωε−⋅+=−⋅=2cos121cos20220w和S都是随时间迅速脉动的量，实际上我们只需用到它们的时间平均值。为了以后应用，这里给出二次式求平均值的一般公式．设f(t)和g(t)有复数表示φωωititiegtgeftf+−−==00)()(，23φ是f(t)和g(t)的相位差.fg对一周期的平均值为()()gfgftgttffg*002000Re21cos21coscosd2==−⋅=∫φφωωπωωπ式中f*表示f的复共轭，Re表示实数部分。由此，能量密度和能流密度的平均值为20202121BEwµε==()nHES20*2121Eµε=×=24电磁波入射到介质界面，发生反射和折射。反射和折射的规律包括两个方面：(1)入射角、反射角和折射角的关系(2)入射波、反射波和折射波的振幅比和相对相位任何波动在两个不同界面上的反射和折射现象属于边值问题，它是由波动的基本物理量在边界上的行为确定的，对电磁波来说，是由E和B的边值关系确定的。因此，研究电磁波反射折射问题的基础是电磁场在两个不同介质界面上的边值关系。§4.2电磁波在介质界面上的反射和折射25一般情况下电磁场的边值关系=−⋅=−⋅=−×=−×0)()()(0)(12121212BBnDDnαHHnEEnσ一、反射和折射定律式中σ和α是面自由电荷、电流密度。这组边值关系是麦克斯韦方程组的积分形式应用到边界上的结果。在绝缘介质界面上，σ=0，α=0。26因在一定频率情形下，麦氏方程组不是完全独立的，由第一、二式可导出其他两式。与此相应，边值关系式也不是完全独立的，由第一、二式可以导出其他两式。=−×=−×0)(0)(1212HHnEEn因此，在讨论时谐电磁波时,介质界面上的边值关系只需考虑以下两式：虽然介质中B是基本物理量，但由于H直接和自由电流相关，而且边界条件也由H表出，所以在研究电磁波传播问题时，往往用H表示磁场较为方便。27设介质1和介质2的分界面为无穷大平面，且平面电磁波从介质1入射于界面上，在该处产生反射波和折射波。设反射波和折射波也是平面波（由下面所得结果可知这假定是正确的）。)(0)(0)(0tititieeeωωω−⋅′′−⋅′−⋅′′=′′′=′=xkxkxkEEEEEEE’和E”，波矢量分别为k、k’和k”。它们的平面波表示式分别为设入射波、反射波和折射波的电场强度分别为E、28应用边界条件时，注意介质1中的总场强为入射波与反射波场强的叠加，而介质2中只有折射波，因此有边界条件EnEEn′′×=′+×)(先求波矢量方向之间的关系：代入场表达式得xkxkxkEnEEn⋅′′⋅′⋅′′×=′+×iiieee000)(此式必须对整个界面成立．29选界面为平面z＝0，则上式应对z＝0和任意x，y成立。因此三个指数因子必须在此平面上完全相等。()0=⋅′′=⋅′=⋅zxkxkxk由于x和y是任意的，它们的系数应各自相等yyyxxxkkk,kkk′′=′=′′=′=如图，取入射波矢在xz平面上，有ky=0,于是ky’=ky”=0。因此，反射波矢和折射波矢都在同一平面上。30以θ，θ’和θ”分别代表入射角，反射角和折射角，有θθθ′′′′=′′′′=′=sin,sin,sinkkkkkkxxx设v1和v2为电磁波在两介质中的相速，则21,vkvkkωω=′′=′=把波矢及它们的分量值代入它们之间的关系式，得21sinsin,vv=′′′=θθθθ31对电磁波来说这就是我们熟知的反射和折射定律。µε1=v211122sinsinn==′′εµεµθθ，因此n21为介质2相对于介质1的折射率。由于除铁磁质外，一般介质都有µ≈µ0，因此通常可以认为就是两介质的相对折射率。频率不同时，折射率亦不同，这是色散现象在折射问题中的表现。12/εε32现在应用边值关系式求入射、反射和折射波的振幅关系：二、振幅关系菲涅耳公式由于对每一波矢k有两个独立的偏振波，它们在边界上的行为不同，所以需要分别讨论E垂直于入射面和E平行于入射面两种情形。33θθθ′′′′=′