菲涅尔衍射

菲涅尔衍射常用计算方法的研究菲涅尔衍射积分有多种计算方法，其中常用的三种计算方法有傅里叶变换算法、卷积算法和角谱衍射算法，本节在对菲涅尔衍射深入研究的基础上，对上述常用的三种计算方法进行了较为详细的研究和比较，得出了在相同条件下，从运算时间的角度来看，角谱衍射算法具有一定优势的结论[36]。2.4.1傅里叶变换算法（S-FFT算法）由式（3.1.11）知，菲涅尔衍射公式是一个傅里叶变换过程222200000expjj,expy2j,exp2kdkUxyxjddkUxyxyd（2.4.1）式中，表示傅里叶变换。这种算法只需要一次傅里叶变换便能完成衍射计算，称之为傅里叶变换算法，以下我们简称S-FFT算法（singlefastFouriertransformalgorithm）。如果对式（2.4.1）进行离散化处理，则2222000000000expjj,expj2j,exp2kdkUmxnymxnyddkUmxnymxnyd（2.4.2）式中，0x，0y是衍射面的抽样间隔，x，y是观察面的抽样间隔，0m，0n，m，n分别为衍射面和抽样面的某抽样点数，且001,2,,mM，001,2,,nN，01,2,,mM，01,2,,nN。0M，0N和M，N分别为衍射面和观察面上的总抽样点数。在进行S-FFT计算时，通常衍射面的尺寸、取样点数、衍射距离和光波波长都是已知的，只需要确定观察面尺寸。现在仅讨论沿x轴方向的情况，其结果可直接扩展到y轴方向。如果实际空间长度为0xL米的空间取样且有xN个抽样点，由抽样定理得知，得到其最高空间频率为0max2xxNuL(2.4.3)这些衍射光对应的空间频率方向为maxmaxcos1uX(2.4.4)图2.4.1衍射屏最大尺寸示意图由图2.4.1和式（2.4.4）得maxmaxmax222sin(π/2)(2)xxLuLd（2.4.5）由式（2.4.3）和式（2.4.5）联立可得观察面的最大计算尺寸为max022224xxxxNdLLN（2.4.6）因为是傍轴计算，式（2.4.5）还可以近似为maxmaxsinπ/2/21.xLud（2.4.7）同样的式（2.4.6）可以化简为max0xxxNdLL（2.4.8）这个结果表明：使用S-FFT计算法，衍射观察面的尺寸不但是波长的函数，而且是取样点数和衍射距离的函数，当衍射距离d很小时，如果保持取样数不变，则再现结果只对应观察面上临近光轴的很小区域。因此，该算法主要适用于衍射距离d较大的情况。为了期望衍射计算结果满足奈奎斯特抽样定理，所以抽样间隔必须满足dmax/2xL0/2xL20xdxN（2.4.9）2xdxN（2.4.10）将式（2.4.10）代入式（2.4.8）得20xdxN（2.4.11）式（2.4.9）和式（2.4.11）是一对矛盾，只有当0xdxxN（2.4.12）才能完全满足奈奎斯特抽样定理。同理，y轴方向采样间隔应满足0ydyyN（2.4.13）数值模拟计算时，取衍射面计算尺寸为005mmxyLL，抽样点数512512，衍射图像为一“光”字，如下图2.4.1所示图2.4.1衍射物用一束波长632.8nm的平行光照射，且衍射距离取80mmd，则由式（3.2.8）观察面尺寸05mmxxxNdLL05mmyyyNdLL，则模拟计算得到衍射图像为图2.4.2衍射图2.4.2T-FFT算法由式（2.4.1）知，我们可以通过使用卷积的形式对菲涅尔衍射积分进行化简，由卷积定理得知，空域的卷积运算可以由傅里叶变换转化为空域的乘积来进行计算，具体计算步骤如下：第一步，进行傅里叶变换，转换到频域进行计算，得到乘积结果22000j,,exp2kUUxyxyd（2.4.14）第二步，将乘积结果逆傅里叶变换回到空域，完成衍射计算-1expj,,jkdUxyUd（2.4.15）式（2.4.14）和（2.4.15）中，,是频域坐标，-1表示逆傅里叶变换。整个运算过程采用了三次傅里叶变换，称为卷积算法，以下我们简称T-FFT算法（triplefastFouriertransformalgorithm）。在T-FFT算法中，观察面的尺寸与衍射面的尺寸是相同的，主要是因为000,Uxy与22jexp2kxyd的频谱在里相乘，要求是相同频率的频谱成分相乘，其最高频率也就必须相等，由于抽样数是一样的，当然要求对应的几何尺寸相等，即00,xxyyLLLL（2.4.16）对于T-FFT算法，仅考虑菲涅尔传递函数的傅里叶变换式的离散抽样，根据奈奎斯特抽样定理得2200,xyddxyNN。数值模拟计算时，取与S-FFT同样的初始条件，则由式（2.4.16）观察面尺寸5mmxyLL，则模拟计算得到观察面上的衍射图像为图2.4.3衍射图2.4.3D-FFT算法经研究表明，22expjjexpj2kdkxydd可以直接通过计算得到222,expj12Hkd（2.4.17）所以，菲涅尔衍射积分公式化简为2-122000,expj12Ux,yUxykd（2.4.18）由于在计算过程中，需要进行一次傅里叶变换和一次逆傅里叶变换，被称为角谱重建算法，以下我们简称D-FFT算法（DoublefastFouriertransformalgorithm）。同样的，其观察面的尺寸需满足式（2.4.16）[33-36]。数值模拟计算时，取与S-FFT同样的初始条件，则由式（2.4.16）观察面尺寸5mmxyLL，则模拟计算得到观察面上的衍射图像为图2.4.4衍射图