现代投资学第二讲组合投资与风险分解

第二章组合投资与风险分解第一节证券组合的收益与风险第二节组合投资模型第三节最小方差集合与有效集合性质第四节单指数模型第五节多指数模型第六节风险分解(2)组合投资的最优选择是实现投资者的预期效用最大化，这就需要对投资者的效用函数形式作出假定并对其最大化形式进行求解，然而对于一般形式的效用函数或证券收益分布而言，最优状态下组合投资选择的结果很难通过求解得出，因此，1952年马可维兹（Markowitz）所提出的证券组合投资理论——均值方差方法由于给出了组合投资的最优选择结果从而被认为是金融微观分析的一个重要的研究领域，该理论研究在一定风险下，如何选择一个证券投资组合，使得所获收益最高。(3)构建证券投资组合的主要目的在于分散风险，并使得期望收益最大，在此基础上所提出的组合投资理论主要基于如下基本假设：（1）已知投资收益率的概率分布；（2）风险用方差或标准差度量；（3）影响投资结果的因素仅有均值、方差；(4)投资者遵守占优原则：对于投资者假设：投资者为不满足和风险厌恶型。(4)第一节证券组合的收益与风险所谓证券投资组合(简称证券组合或投资组合)是指将全部投入资金按某种比例分散投资于两种或两种以上证券而构成的一个组合。假设证券组合是由n种不同证券构成，其中在第i种证券上投资的资金比例为，简称为第i种证券投资权重。则证券组合可记为如下的形式XX,1,,ixinniinixxxX11,,(5)在证券X组合中，权重时表示买入证券i；表示卖空证券i,将其所得资金投资于组合内其他证券；当时，表示投资在证券上的资金有卖空其他证券收入的资金。设证券i的收益率为，其概率分布为则证券的预期收益率(期望收益率)为0ix0ix1ixir,1,2,,,1,2,,jiijPPrrjNin1,1,2,,NiijjjErrpin(6)证券i(收益率)的方差为标准差为，而证券i和k(收益率)的协方差为对于证券组合X，其收益率为NjjiijiiiiPrErrErErD1222iNjjkkjiijkkiiikprErrErrErrErE11nXiiirxr(7)X的预期收益率为X的方差为1nXiiiErxEr22222111XXXXnnniiikikiikkiTrErErxxxXVX(4.4)(8)其中注意到与的相关系数定义为kiikiiinxniknVxxX,,21irkrkiikik(9)所以又有特别，我们来看等比例组合的情形，此时222111nnnXiiikikikiikkixxx,1nxiniiXrEnrE1122222111111111Xiiknnniikikiikiikkinnnnnnn(10)分别表示n个证券方差和它们的协方差的平均值。显然如果，我们仍用方差表示风险，则上式表明，如果按等比例做证券组合，当组合中的证券数量达到一定程度时，单个证券的风险将不发生作用，而证券组合的风险主要取决于证券之间的协方差，即证券收益率之间的相互关系。对于非等比例组合，上述结论仍然成立。2iik2Xikn（）(11)上式的第一部分我们成为证券组合的非系统风险，第二部分我们称为证券组合的系统风险。组合投资使得系统风险平均化，大大地减少了非系统风险。在不允许卖空时，注意到,有1ii2111111222111max,,nnTXikikiknnnnikikikikikikiknnnXVXxxxxxxxx(12)即证券组合的风险，总是小于等于单一证券的最大风险，这是一个非常重要的结论，是现代证券理论的基础。同时，我们还可以通过改变的比例，使取最小值，这也是十分重要的推断，是现代证券投资理论的核心。1,,nxx2X(13)第二节期望效用原理与均值方差准则一、期望效用准则二、一般的效用函数三、均值方差准则(14)期望效用准则效用函数是消费者按照自己的主观偏好来评价各种消费品满足程度的度量尺度。当选择的对象是确定的，偏好关系满足完备性、自反性、传递性和连续性时，则存在效用函数且消费者可以按照效用最大化进行消费选择。当选择对象包括不确定因素情形时，我们称为随机消费，冯•诺伊曼和莫根斯坦证明了如果投资者满足一系列合理的一致性条件假设，由期望效用函数的存在性即期望效用表示可得出不确定性条件下投资者对随机消费情形下的最佳选择。(15)所谓消费者个体的偏好关系有期望效用表示，是指存在一个效用函数使得随机消费优于随机消费的充分必要条件为，这里表示个体按不确定因素发生的概率计算的期望值。决策者将选择一策略使结果的期望效用极大化。xy(())(())EuxEuy()E(16)一般的效用函数(17)(18)(19)(20)(21)均值方差准则均值方差准则在证券投资理论中，一种方便的风险定义就是把围绕收益率期望的波动性即收益率的方差（或者标准差）称为证券的风险。证券均值方差准则的最大优点在于只要考虑投资收益的期望值与方差(标准差)便可以做出决策，也正因为这一优点，它成为投资分析中最著名的有效准则之一。(22)按照均值方差准则，无论是哪一类投资者，在风险相同的情况下，总是偏好期望收益高的投资对象，但在期望收益一定时，投资者的选择就依据对风险的偏好程度,选择风险小的投资对象。(23)均值方差准则：对于证券1和2，当且仅当时，证券1优于证券2，其中分别为证券1和证券2的收益，它们都是随机变量。2121varvarRRRERE21RR、(24)均值方差准则是预期效用的一种特殊情况，假设投资者为风险回避者，且其效用函数为二次型，某证券(或证券组合)的收益为R，则他的效用由下式决定:其中可以取任意值，而。2cRbRaRUa0,0bc(25)投资者的期望效用为而由于,故上式可以写成该式说明二次函数的期望效用可以表示为证券收益的均值和证券收益的方差的函数。2RcERbEaRUE222RERER22RcREcRbEaRUERE2R(26)进一步由上述推导可得出以下结论该式说明当方差增加而期望收益不发生变化时，因其期望效用减少，投资者的状况会恶化。该式说明当方差不变而期望收益增加时，投资者的状况会变好，因为其期望效用增加了。20REURc02RcEbRERUE(27)一般均值方差准则由于它对于投资者效用函数的设定过于严格，特别是它不是在可能情况的全部区间上定义的，所以极大地限制了其应用范围。更一般的均值方差模型可以表示为：其中为参数，亦是风险厌恶因子，它反映了投资者对均值和方差的均衡，当决策者对低于的收益减少特别敏感或者厌恶，可取，这样给赋以一个很大的权数，使获得高收益的机会减少，这表明投资者宁愿获得较低的收益也不愿意遭受损失。max{()()}ERVarR],0(()ER1()VarR(28)(29)(30)(31)第二节组合投资模型考虑一个证券组合X，它由N个证券组成，每个证券的预期收益率为，方差记为，证券间的协方差记、于是证券组合的收益率的方差可以表示成在给定预期收益率水平之下，如何选择证券组合的权重，使证券组合具有最小方差呢?irE2iijiij,1,2,,jnXrXr2VXXrTX2(32)记为确定最小方差集合，我们考虑如下优化模型，即一般的马柯维茨模型这是一个等式约束的极值问题，我们可以构造Lagrange函数12,,,TneErErErXTniiTrEeXxtsVXX11..21min1,,112TTTXLXXVXErXeX(33)根据Lagrange乘数法解得得10LVXeX0TXLErXe110TLX2XXrEr111XVeV(4.25)(4.26)(34)（4.26）分别左乘和得记T1Te111111TTVeV111TTXEreVeeV1112111TTTAVeBeVeCVBADBCAAC(35)于是解方程组得将代入（4.26），得其中DrAEBDArCEXX,11111111AVeCVDheAVBVDfXXfhEr(4.29)(36)注意2112()()()()()()(())2()TTxTTxxxxxxrxVxxVVeVxexErBAErCErAErDDCErAErCD11(37)为求全局最小方差资产组合点，令：得到于是可解得22()20()xxCErAddErD21(),xAErCC()0xCErAD22()1xABBAErCBADCDDCDCDC(38)1111110gMVPTVVxVeVxCCV111111111111211()()TTdgTTxVeVVeVVeVxxVeV1111111111121TTVeV111(39)我们有两基金分离定理定理任一最小方差集合上的投资组合都可以唯一地表示为全局最小方差和可分散化资产组合的组合。pxgxdx(40)我们将代入(4.25)得,221XXCArErCDC2222211XXAErrCDCC(4.29)(4.30)(41)（4.29）式给出了证券组合权重与预期收益率的关系。（4.30）式给出了证券组合预期收益率与方差的关系,且说明在平面上面有双曲线形式，而在平面上可有抛物线形式。在平面上的抛物线，其顶点在,如图4.6所示。XXrrE~XXrrE2~XXrrE2~1,ACC(42)E(r)σ(r)MCAC1E(rx)σ2(r)C1CA图4.5平面上的一支双曲线型图4.6平面上的抛物线2~XXErr~XXErr(43)最小方差集合在顶点上半部的证券组合集合称为有效集合。有效集合中所有证券组合符合以下准则：给定某一标准差，有效集合中的证券组合具有可获得的最大预期收益率。显然最小方差集合在顶点的下半部分对应点的预期收益率最低。在上面确定最小方差集合的过程中，权重约束为,求得的结果诸中可能有为正的也有为负的，它反映了允许卖空的情形。ixniix11(44)在有些情况下，投资者把不进行卖空作为一种投资策略，因此，讨论在不允许卖空的约束下如何确定最小方差集合是必要的。这时在约束条件中需要加入相应的模型为这是二次规划模型。利用Kuhn-Tucker条件，可得到其解所满足的必要条件。0,0,,ixinVXXTmin01..1XrEeXxtsXTnii(45)最优证券组合管理例一个投资者正考虑对三家公司的股票进行五年期的投资。这三家公司是Polaroid、Raytheon和Lotus。依据市场分析以及统计预测，她获得的有关数据：公司收益间的协方差Cov(Polaroid的收益,Raytheon的收益)=34(%)2Cov(Polaroid的收益,Lotus的收益)=103(%)2Cov(Raytheon的