12-5可降阶的高阶微分方程

可降阶的高阶微分方程第五节一、型的微分方程二、型的微分方程三、型的微分方程第十二章一、)()(xfyn令,)1(nyz因此1d)(Cxxfz即同理可得2)2(dCxyn1d)(Cxxfxdxxfd)(依次通过n次积分,可得含n个任意常数的通解.21CxC型的微分方程例1.2,111002的特解满足初始条件求微分方程xxyyxy解对方程两端积分，得12d11Cxxy.21C.2arctanxy两端再积分，得2d2arctanCxxy,2)1ln(21arctan22Cxxxx,1arctanCx,20得由条件xy所以(方法1).12C将初始条件代入，得.12)1ln(21arctan2xxxxy上取积分，，对方程两端在区间x0,1dd)(020xxxxxxy故所求特解为(方法2)xxxyxy021d)0()(再取积分，得所求特解)0(d2arctan)(0yxxxyx.12)1ln(21arctan2xxxx)0(1d)(02yxxxyx得2arctanx),(yxfy型的微分方程设,)(xpy原方程化为一阶方程设其通解为),(1Cxp则得),(1Cxy再一次积分,得原方程的通解21d),(CxCxy二、例2;1)0(,0)0(,0)1(2yyyxyx求解解，方程中不出现y,py则xppx)1(2分离变量得xxxppd1d2代入方程有,py设两边积分得12ln)1ln(21lnCxp型，属于)(yx,fy可分离变量方程即211xCp,1)0(y代入初始条件所以211xpy两边积分得2arcsinCxy.02C得故所求特解为.arcsinxy.11C得,0)0(y代入初始条件三、),(yyfy型的微分方程令),(ypyxpydd则xyypdddd故方程化为设其通解为),,(1Cyp即得分离变量后积分,得原方程的通解例4求解.02yyy代入方程得两端积分得,lnlnln1Cyp,1yCp即一阶齐次线性方程故所求通解为解xpydd则xyypddddyppdd内容小结可降阶微分方程的解法——降阶法逐次积分令,)(xpy令,)(ypy思考题1.方程如何代换求解?答:令或一般说,用前者方便些.均可.有时用后者方便.例如,2.解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题?答:(1)一般情况,边解边定常数计算简便.(2)遇到开平方时,要根据题意确定正负号.且满足等式上可导，在函数,1)0(,0)(fxf综合题0d)(11)()(0xttfxxfxf);()1(xf求导数成立时，不等式：证明：当1)(0)2(xfexx解由题设知)1(0d)()()1()()1(0xttfxfxxfx求导，得上式两边对x)()2()()1(xfxxfx属可降阶的微分方程，),(xfp设代入上方程得pxpx)2()1(分离变量有xxxppd12d两边积分Cxxpln)1ln(ln解之得xCepxfx1)(,)(pxf则代入题设关系式有由,1)0(f,0)0()0(ff因此xexfx1)()2((方法1),0)(,0xfx当,1)0(0)(fxf上单调减少，又，在即1)0()(fxf所以,)(xexf欲证.1C从而.1)0(f知.0)(xexf即证证为此设xexfxφ)()(,0)0(φ则xexfxφ)()(xexx1,0)(0xφx时，当上单调增加，，在即0)(xφ因而0)0()(xxexf)(即有成立不等式综上所述，当,0x1)(xfex1)()0()(d)(0xffxfttfx由于所以xtttexf0d11)(时注意到当0xxttte0d10xtte0dxe1因而有xtttexf0d11)(1即有.1)(xfexxxee11(方法2)备用题例1-1.cos2xeyx求解解12cosCxdxeyx12sin21Cxexxey241xey281xsin21xC32CxCxcos21CxC例2-2求解yxyx2)1(2,10xy30xy解代入方程得pxpx2)1(2分离变量积分得,ln)1(lnln12Cxp,30xy利用,31C得于是有)1(32xy两端再积分得233Cxxy利用,10xy,12C得133xxy因此所求特解为)1(32xy例4-4解初值问题解令02yey,00xy10xy),(ypy,ddyppy则代入方程得积分得1222121Cepy利用初始条件,,01C得yep222121根据,0100xyypyep积分得,2Cxey,00xy再由12C得故所求特解为xey1得xydd