12-7二阶常系数齐次线性微分方程

三、n阶常系数齐次线性方程解法二、二阶常系数齐次线性方程解法二阶常系数齐次线性微分方程第七节一、常系数线性微分方程的标准形式第十二章一、常系数线性微分方程的标准形式)(1)1(1)(xfypypypynnnnn阶常系数线性微分方程的标准形式)1.7(0yqypy二阶常系数齐次线性方程的标准形式)2.7()(xfyqypy二阶常系数非齐次线性方程的标准形式.),,2,1(均为实常数其中nipi二、二阶常系数齐次线性微分方程解法欧拉待定指数法(或特征方程法):),(为待定常数设reyrx将其代入方程(7.1),得0)(][2rxrxeqprreL,0rxe.02的根qprr][yL)1.7(0yqypy的解是方程)1.7(rxey是方程r.,均为实常数其中qp02qprr)3.7(特征方程qprrrF2)(特征多项式,2422,1qppr特征根：时，当04.12qp(7.3)有两个不相等的实根:,2421qppr,2422qppr,11xrey,22xrey故齐次线性方程(7.1)的通解为;2121xrxreCeCy的两个解：从而得到方程)1.7(常数xrreyy)21(21线性无关与21yy(7.3)有两个相等的实根：,11xrey,221prr得(7.1)的一特解为:并化简，代入方程，，将)1.7(222yyy,0])()2([][][1211211uqprruprueueLyLxrxr,)(:12xrexuy设另一特解为是特征根，且是重根r00时，当04.22qp212)()(rrqprrrF)(22)(1rrprrF0)(1211qprrrF02)(11prrF得齐次线性方程(7.1)的通解为;)(121xrexCCy,0u从而,)(xxu取,12xrxey则(7.3)有一对共轭复根:,1ir)0(,2ir,)(1xiey,)(2xiey时，当04.32qp得(7.1)的两个复值特解:xixxieeey)(1)sin(cosxixex)sin(cos)(2xixeeyxxisincosiei由欧拉公式，得重新组合：)(21211yyy,cosxex)(21212yyiy,sinxex故齐次线性方程(7.1)的通解为).sincos(21xCxCeyx加原理，知由齐次线性方程解的叠又因的解仍是方程.)1.7(,21yy常数，xyycot21线性无关与21yy例1是的微分方程通解为xxeCeCy321————————————.解3,121rr特征根：,0)3)(1(rr特征方程：.0342rr即034yyy034yyy所求微分方程是：二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程;02qprr0qyypy21,rr（2）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.特征根的情况通解的表达式21rr单根;2121xrxreCeCy21rr重根;)(121xrexCCy)0(21ir，复根).sincos(21xCxCeyx定义由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法..044的通解求方程yyy解特征方程为,0442rr解得,221rr故所求通解为.)(221xexCCy例2.052的通解求方程yyy解特征方程为,0522rr解得,2121ir，故所求通解为).2sin2cos(21xCxCeyx例3三、n阶常系数齐次线性方程解法01)1(1)(ypypypynnnn特征方程为0111nnnnprprpr特征方程的根通解中的对应项rk重根若是rxkkexCxCC)(1110irk复根重共轭若是xkkkkexxDxDDxxCxCC]sin)(cos)[(11101110.),,2,1(均为实常数其中nipi注意n次代数方程有n个根,而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项,且每一项各一个任意常数.nnyCyCyCy2211,0)9(62yayy求解.0a常数其中解特征方程为0)9(6223rarr0)]9(6[22arrr特征根：iarr3,03,21(1)当a=0时，特征根：3,03,21rr所求通解为.)(3321xexCCCy),,(321为任意常数CCC例4(2)当a0时，特征根：01riar32iar33所求通解为：),,(321为任意常数CCCxeaxCaxCCy3321)sincos(特征根为,,,154321irrirrr故所求通解为xeCy1解,01222345rrrrr特征方程为,0)1()1(22rr.022)3()4()5(的通解求方程yyyyyy.sin)(cos)(5432xxCCxxCC例5例6满足方程而具有二阶连续导数设函数)sin(,)(yefzufxzeyzxzx22222).(uf求解则令,sinyeuxxz,sin)(yeufxyzyeufxcos)(22xzyeufyeufxxsin)(sin)(2222yzyeufyeufxxsin)(cos)(22代入到方程zeyuxux22222有)()(22ufeeufxx即0)()(ufuf对应的特征方程为,012r故所求函数为),()(2121为任意常数CCeCeCufuu121，即r内容小结二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程;（2）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.(见下表)02qprr特征方程0qyypy齐次线性方程特征根情况通解的表达式21rr单根xrxreCeCy212121rr重根xrexCCy1)(21ir复根)sincos(21xCxCeyx.02的通解求微分方程yyy解备用题例1-1程为所给微分方程的特征方022rr，特征根21r所以方程的通解为xxeCeCy221为两个不同的特征根12r.33,2,321方程是（）阶常系数齐次线性微分的具有特解xxxeyxeyey例5-2解(方法1)0)(yyyyA0)(yyyyB06116)(yyyyC022)(yyyyD特征根，常系数齐次方程的三个阶为由题设知31,1,1321rrr故其对应的特征方程为0)1()1(2rr即0123rrr故所求方程为0yyyy).(B所以选(方法2)通解为由题设可得齐次方程的xxxeCxeCeCy321有：，，求出yyyxxxxeCxeCeCeCy3221xxxxeCxeCxeCeCy32212xxxxeCxeCxeCeCy32213得消去常数321,,CCC0yyyy例6-1解.!404nnnx的和函数求幂级数)(!4)(04xnxxSnn令,!14)(114nnnxxS124!24)(nnnxxS134!34)(nnnxxS1444!44)(nnnxxS)(!4041xSmxmmnm0)4(）（）（于是有xSxS0)0()0()0(,1)0(SSSS且xCxCeCeCxSxxsincos)(4321解得代入初始条件得,4121CC04C,213CxeexSxxcos21)(41)(故)()cos2(41)4(04xxeenxxxn！即