一元二次方程解法完整

1、下列式子哪些是方程？2＋3＝53x＋25x＋3＝18x－2y＝5没有未知数不是等式含有未知数的等式叫方程含有未知数的等式叫方程213x不是等式方程的本质特征是什么？回顾复习认识一元二次方程2、我们学过哪些方程？•一元一次方程、二元一次方程、分式方程。3、什么叫一元一次方程？方程的“元”和“次”是什么意思？只含有一个未知数，并且未知数的次数是1次的整式方程叫一元一次方程。一元一次只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程通常可写成如下的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0)特征：方程的左边按x的降幂排列，右边＝0ax2+bx+c=0二次项一次项常数项（0次项）二次项系数一次项系数a≠0一元二次方程的项和各项系数a为二次项系数，ax2叫做二次项，b为一次项系数，bx叫做一次项，c为常数项,例1下列方程哪些是一元二次方程?(2)2x2－5xy＋6y＝0(5)x2＋2x－3＝1＋x2(1)7x2－6x＝0解:(1)、(4)(3)2x2－－1＝0(4)＝0－y22x31例2把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：方程一般形式二次项系数一次项系数常数项3x2=5x-1(x+2)(x-1)=64-7x2=03x2－5x＋1＝0x2＋x－8＝0或－7x2＋0x＋4＝03－5＋11＋1－8－7043－5111－8－704或7x2－4＝070－4－7x2＋4＝0例题分析将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：3x2－1x-5=02x2－7x＋3=01x2－5x＋0=02x2+5x－11=0友情提示：某一项的系数包括它前面的符号。试一试3x2-x=52x2-7x+3=0x2-5x=02x2-11=-5x试一试解下列方程：（1）x2=4,(2)x2_1=0（3）(x+1)2–4=0,（4）12(2–x)2–9=0,如果方程能化成的形式，那么可得做一做解方程：（1）4x2-9=0(2)（x-2）2=16（3）（2x2-3）2=25（4）2（x2+5）2=32(5)(2x+3)2=4(3x-2)2这样解是否正确呢？方程的两边同时除以同一个不等于零的数，所得的方程与原方程同解。思考：解方程x2=x直接开方，可以吗？两边同除以x，得x=1思考：解方程x2=x解法一：这种解法有些复杂01,0xx或解法二：解：移项的，x2-x=0分解因式，得：x(x-1)=0，所以原方程的解为：x1=0，x2=1两个因式相乘等于0，那么每个因式都可以等于0。提取公因式思考：解方程x2=x下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？()完成下列运算（5分钟）：(1).(x+2)(x+3);(2).(x+2)(x-3);323x2xx原式:解263)x(2x2652xx-3)(22x3x-x原式:解262)x(-3x262xx(3).(x-2)(x-3);(4)(x+a)(x+b);baaxbxx原式:解2abb)x(ax2652xxabxbax)(2(-3)(-2)2x-3x-x原式:解22x(-32)x6试一试=x2+(a+b)x+ab（x+a)(x+b)x2+(a+b)x+ab=（x+a)(x+b)整式乘法：因式分解：(1).因式分解竖直写;(2).交叉相乘凑中间;2x+3x=5x(3).横向写出两因式;(x+2)和(x+3)二、思考探究1，获取新知分解因式65xx2将xx232x+3x=5x解:原式=x²+（2+3）x+23=(x+2)(x+3)×(x+2)(x+3)数2,3与原式中系数有什么关系。（1）x2+4x+3=0（2）X2+7x+6=0（3）X2+11x+10=0xx13x+3x=4xxx16x+6x=7x解：（x+1)(x+3）=0x+1=0或x+3=0x1=-1,x2=-3解：（x+1)(x+6）=0x+1=0或x+6=0x1=-1,x2=-6xx110x+10x=11x解：（x+1)(x+10）=0x+1=0或x+10=0x1=-1,x2=-10：拆两头，凑中间横写因式不能乱。例3求解:3x－10x＋3=02解：x3x－3－1－9x－x=－10x(x－3)(3x－1)=0例4求解:5x－17x－12=02解：5xx＋3－4－20x＋3x=－17x(5x＋3)(x－4)=0三、合作探究2，获取新知x－3=0或3x-1=05x+3=0或x-4=031,121xx4,53-21xx用因式分解法解一元二次方程的步骤1、方程右边不为零的化为。2、将方程左边分解成两个的乘积。3、至少一次因式为零，得到两个一元一次方程。4、两个就是原方程的解。零一次因式有一个一元一次方程的解右化零左分解两因式各求解简记歌诀：x2+4x-3=0解：x2+4x-3=0x2+4x=3x2+4x+4=3+4(x+2)2=7x+2=77x1=2+x2=2-7一次项一半的平方完全平方式开方配方法你能用配方法解方程2x2-9x+8=0吗?1.化1:把二次项系数化为1;3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;4.变形:方程左分解因式,右边合并同类;5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;6.求解:解一元一次方程;7.定解:写出原方程的解.2.移项:把常数项移到方程的右边;用配方法解一般形式的一元二次方程20axbxc把方程两边都除以20bcxxaa解:a移项，得2bcxxaa配方，得22222bbcbxxaaaa即222424bbacxaa224040abac当时22424bbacxaa242bbacxa2422bbacxaa即一元二次方程的求根公式特别提醒(a≠0,b2-4ac≥0).b2-4ac0.原方程无解你能用公式法解方程2x2-9x+8=0吗?1.变形:化已知方程为一般形式;3.计算:b2-4ac的值;判断是否有解4.代入:把有关数值代入公式计算;5.定根:写出原方程的根.2.确定系数:用a,b,c写出各项系数;2α4αcbbx2例解方程：x2-7x-18=0解：这里a=1,b=-7,c=-18.∵b2-4ac=(-7)2-4×1×(-18)=121﹥0,,1171217212x即：x1=9,x2=-2.4x²+1=-4x解：移项，得4x²+4x+1=0a=4，b=4，c=1，b²-4ac=4²-4×4×1=0X==-=-X1=X2•猜一猜：对于一般式ax²+bx+c=0（a≠0）的根与b²-4ac的符号有什么关系？aacbbx242故对于方程ax²+bx+c=0（a≠0）有下列关系：因为ax²+bx+c=0（a≠0）的求根公式是(1)当b²-4ac0时，方程有两个不相等的根(2)当b²-4ac=0时，方程有两个相等的根x1=x2=(3)当b²-4ac＜0时，方程没有实数根.一般地，式子叫做方程根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即ac4b2acb4220axbxc△＝(a≠0)1、几种解一元二次方程的方法:(1)直接开平方法:(2)配方法:x2=a(a≥0)(x+h)2=k(k≥0)(4)公式法:（3）因式分解法.04.2422acbaacbbx用公式法解一元二次方程的一般步骤：242bbacxa3、代入求根公式:2、求出的值判断根的情况，24bac1、把方程化成一般形式，并写出的值。ab、、c4、写出方程的解：12xx、特别注意:当时无解240bac2、分解因式的方法：（1）提取公因式法:（2）公式法:（3）十字相乘法:am+bm+cm=m(a+b+c).a2-b2=(a+b)(a-b),a2±2ab+b2=(a±b)2.x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).211221221)(ccxcacaxaa))((2211cxacxa