2.2矩阵的运算

第二节矩阵的运算矩阵的线性运算矩阵的乘法矩阵的幂乘矩阵的转置方阵的行列式共轭矩阵一、线性运算1.加、减法注意:只有当两个矩阵是同类型的矩阵时,才能进行加法运算2.数乘规定为或的乘积记作与矩阵数定义,2AAAnmmnmmnnaaaaaaaaaAA212222111211),,,(为数矩阵为同类型设规律数乘矩阵满足以下运算nmBA)()()1(AA.,统称为矩阵的线性运算起来矩阵相加与数乘矩阵合AAA)()2(BABA)()3(二、矩阵与矩阵的乘法)1(132322212123132121111xaxaxayxaxaxay设有线性变换引例)2(232131322212122121111tbtbxtbtbxtbtbx便得式式代入可将的线性变换到若想求出从,)1()2(,,,2121yytt)3()()()()(232232222122113123212211212232132212121113113211211111tbababatbababaytbababatbababay即所对应的矩阵的乘积与所对应的矩阵定义为相应把的乘积与为线性变换称线性变换的结果再作线性变换可看成是先作线性变换线性变换,)2()1()3(,)2()1()3(.)1()2()3(322322221221312321221121321322121211311321121111babababababababababababa323122211211232221131211bbbbbbaaaaaa.,2332:矩阵的行数相等前面矩阵的列数与后面即而第二个矩阵为第一个矩阵为注意其中记作矩阵的乘积是一个与规定矩阵,),(ABCcCnmBAij),,1;,,1(12211njmibabababacskkjiksjisjijiij那么矩阵是矩阵是设定义,)(,)(32nsbBsmaAijijsmijaA)(nsijbB)(一般地，有nmijc)(sjisjijiijbababac2211ABC)(21isiiaaasjjjbbb21ijcnssmnmBACBCABdABCcBCbACaC，B，A)()()()().(,1333223则下列运算可行的是有例TTmnnmABdBAcABbBAannmBA)()()()()()().(,)(,2阶方阵的是则下列运算结果为有例431102311014201213013计算例解321.4+0.(-1)+3.2+-1.11.1+0.1+3.0+-1.31.0+0.3+3.1+-1.42.4+1.(-1)+0.2+2.11.1+1.2+0.0+2.32.0+1.3+0.1+2.4321199129)()().1BCACAB乘法结合律2.矩阵乘法的运算规律矩阵的乘法满足以下规律CABAACBACABCBA)()().2乘法分配律矩阵乘法的运算法则与数的乘法的运算法则的不同点BAAB矩阵乘法不满足交换律).142002412,12002011BAABB，A但如AB是A左乘B，BA是A右乘B。显然，AB能成立，BA不一定能成立3).两个非零矩阵相乘的结果可能是零矩阵若AB=0时,一般不能得出A、B中至少有一个为零矩阵的结论..0,0,0000,1000,0001BAABBA而则如对于某些特殊的矩阵可能有AB=BA,这时称A、B是可交换的矩阵CBACABCBA但如,.0000,1000,0001CBACAB矩阵乘法不满足消去律).2.,,),,,(32121，BAABbbbBaaaAnn求设矩阵例niiinnnnbabababaBA1221111解nnnnnnnnnnabababababababababAB21222121211111..:矩阵的每行中提出来从即不能分别把有公因子不能认为矩阵注意ibBA.210114阶矩阵可交换的全体求可与例A.,的元素素的方程求解列出对应元由可交换的矩阵为设与分析BBAABBA即由阶方阵为可交换的设与解,.24321BAABxxxxBA,1011101143214321xxxxxxxx434332142131xxxxxxxxxxxx得为任意取值23140xxxx.,,0221121为任意常数其中阶方阵为可交换的全体故与xxxxxBA434231xxxxxx即由矩阵相等的定义,得433211xxxxxx.,5相等的主对角线上元素之和与证明阶方阵均为和设例BAABnBAnnijnnijnnijnnijdBADcABCbBaA)(,)(,)(,)(且记设证niiniiiiiibababacC2211的主对角线上的元素则,),,2,1(1nkkiikiinibac即nininkkiikiibac111)(和为的主对角线上的元素之于是矩阵C和为的主对角线上的元素之可得同理BAD,niniiinkkiiknkniikkinkkkcbaabd111111)()(.和相等的主对角线上的元素之与故BAAB例6用矩阵方程表示下式线性方程组mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa21112222212111212111解mnmmnnnmaaaaaaaaaAxxxxbbbb2122221112112121,,令很容易验证得Ax=b1、定义设A是一个n阶矩阵，对于正整数k,个kkAAAA称为A的k次幂。三、矩阵的幂乘lk,kllklklkAAAAA,2、幂乘的运算规律：任意正整数,有,)(kkkBAAB但一般来说))(()42)()3))(()22)()1?,,,2222222222EAEAEAEAEAEABABABABABABAnEnBA以下式子哪些成立阶单位矩阵为阶方阵为设例题???式子可以成立在什么条件下不成立的不成立的原因是什么什么以上式子成立的原因是?)(,nEA你能推导出公式一般地EACACACAEAnnnnnnnn12211)(..3次幂的方法的求矩阵nA方法一数学归纳法.,,,32再用数学归纳法证明之的规律发现等先计算kAAAnAA求设例,10111102110111011101122A解1031,23AAA同理猜想101nAn.1011,101,1成立下证成立时假设kAkAknkk.,10111011101,1结论成立事实上kkAAAkk方法二利用二项展开公式将矩阵A分解成A=F+G,要求矩阵F与G的方幂容易计算,且FG=GF.一般地,F和G有一个是单位矩阵E时,计算更加容易.EBCBCBCBEBnnnnnnnn12211)(应用二项展开公式.1方法求解例以下用二项展开公式的EBAA100100101011分解先将矩阵解)2(0,0000001000102nBBn从而因nBEBBCBCEBEAnnnnn221)(于是10100101001nnkAA试求已知矩阵例,0010012000100010000100010000000BB，EA其中解故由二项展示公式得可交换与即且满足可以验证,),()(0,000000100432BEEBBBEBBBB22211)()()()(BECBECEBEAnnnnnnn221)1(BnnBnEnnnnnnnnnnnn0002)1(121你能用数学归纳法的思想求出这一结论吗?作业！nAnnnnnnnnnnnnA求设例,1111111113nBBBBnEAA2,111111111,1容易得出其中分解成将解nBnBnEBnEBnEBnEA2222221212)1(于是.),(1AAABnEn故幂等矩阵,).(1,,利用乘法结合律列矩阵矩阵都是其中若nAT.,),31,21,1(,)3,2,1(nTAA求设已知例方法三利用乘法结合律得应用矩阵乘法的结合律因为解,,3321)31,21,1(T则有是一个数并注意,TTTTT)())((TkT1)()()(1TkTAkT1)()())((TTTkA)())(()(TTTnTnA因为TTTT)())((TnT1)(AnT1)()()(1TnT123332123121133,2,131211311nn123332123121131n除了以上求矩阵幂的方法以外,还有应用矩阵的分块求矩阵的幂;利用相似矩阵对角化的方法求矩阵幂.这些方法将在后续的内容中介绍.四、矩阵的转置.,.,,51为对称矩阵称矩阵时当记作的转置矩阵阵叫做矩到的矩阵的行换成同序数的列得把矩阵定义AAAAAATT的转置矩阵为矩阵例如113021A101231TA:,2满足下述运算规律算矩阵的转置也是一种运AATT)()1(TTTBABA)()2(TTAA)()3(TTTABAB)()4(10011A已知矩阵例TABB)(,0110,求1001TA解0110,TB0110)(TTTBAAB故这一解法是否正确?正确如何解?2311021A已知例102324171,BTAB)(,求1023241712311021AB因为解法10131731401031314170)(TAB所以TTTABAB)(2解法1031314170