例谈对数平均不等式在高考中的应用_邓军民

·20145GUANGDONGJIAOYUGAOZHONG，，，．：a＞0，b＞0，a≠b，：ab姨＜a－blna－lnb＜a＋b2．：，a＞b＞0，（1）∵a－blna－lnb＜a＋b2圳lna－lnb＞2（a－b）a＋b圳lnab＞2（ab－1）ab＋1圳lnx＞2（x－1）x＋1（x＝ab＞1），f（x）＝lnx－2（x－1）x＋1（x＞1），f′（x）＝（x－1）2x（x＋1），∵x＞1，∴f′（x）＞0，∴f（x）（1，＋∞），∴f（x）＞f（1）＝0，a－blna－lnb＜a＋b2．（2）∵ab姨＜a－blna－lnb圳lna－lnb＜a－bab姨圳lnab＜ab－1ab姨圳2lnx＜x－1x（x＝ab姨＞1），g（x）＝2lnx－（x－1x）（x＞1），g′（x）＝－（1x－1）2，∵x＞1，∴g′（x）＜0，∴g（x）（1，＋∞），∴g（x）＜g（1）＝0，ab姨＜a－blna－lnb．，a＞0，b＞0，a≠b，：ab姨＜a－blna－lnb＜a＋b2．■11．，。有一个信者在屋檐下躲雨，看见一位禅师正撑伞走过，于是就喊道：“禅师！普度一下众生吧！带我一程如何？”禅师道：“我在雨里，你在檐下，而檐下无雨，你不需要我度。”信者立刻走出檐下，站在雨中，说道：“现在我也在雨中，该度我了吧！”禅师：“我也在雨中，你也在雨中，我不被雨淋，因为有伞；你被雨淋，因为无伞。所以不是我度你，而是伞度我，你要被度，不必找我，请自找伞！”说完便走了！，、。，，；，，。【】，，，，、。：＋。，，，，，，。“、”，，。———、，。（以上由肇庆中学李俊玲供稿）12．，。有人说，你可以一辈子不登山，但你心中一定要有一座山。它使你总往高处走，使你任何一刻抬起头，都能看到一座山头。特种兵在苦练怎么打胜仗的同时，也在苦练打败仗后如何当俘虏。战俘训练课程包含野外生存、躲藏逃脱、积极抵抗、忍受酷刑等，训练以近乎残酷的方式进行，但却是必要的。它可提高人的生理和心理承受能力，一旦身临绝境，就可以从容应付。？，800。：，，，，，。【】，，，。，：①；②。，：①，；②；③。，：①，；②；③。（由广州市44中学许存杰供稿）彭琳11·201451．f（x）＝lnxx＋1＋1x（x＞0，x≠1），：f（x）＞lnxx＋1．：：x2－1lnx2－ln1＞x2×1姨＝x，∴2lnxx2－1＜1x，lnxx－1－lnxx＋1＜1x，∴lnxx－1＋1x＞lnxx＋1，f（x）＞lnxx－1．：此题的常规解法是利用作差的思路得f（x）－lnxx－1＝11－x2（2lnx－x2－1x），然后巧妙地分离一个新函数h（x）＝2lnx－x2－1x（x＞0）出来，然后求导判断h（x）的单调性，得当x∈（0，1）时，h（x）＞0，当x∈（1，＋∞）时，h（x）＜0，所以有：11－x2h（x）＞0．但是相对这种对数不等式的解法，前者更复杂，后面显得更巧妙更简洁．2．a＞0，b＞0，：ni＝1Σ1a＋ib＜n（a＋12b）（a＋n＋12b）姨．：：ni＝1Σ1a＋ib＝ni＝1Σ2［a＋（i＋12）b］＋［a＋（i－12）b］＜ni＝1Σln［a＋（i＋12）b］－ln［a＋（i－12）b］b＝ln［a＋（n＋12）b］－ln（a＋12b）b＝n·ln［a＋（n＋12）b］－ln（a＋12b）［a＋（n＋12）b］－（a＋12b）＜n（a＋12b）·［a＋（n＋12）b］姨＜n（a＋12b）·［a＋（n＋12）b］姨，．：这种解法巧妙地将1a＋ib变形为2［a＋（i＋12）b］＋［a＋（i－12）b］，再利用对数平均不等式的变形公式2x＋y＜lnx－lnyx－y＜1xy姨（0＜y＜x）即可很轻松地完成证题过程．这种解法非常的巧妙、简洁，需要解题者具备扎实的数学基础和灵活的应变能力．3．0＜x＜2，：ln（x＋1）＋x＋1姨－1＜9xx＋6．：：（x＋1）－1ln（x＋1）－ln1＞（x＋1）·1姨＝x＋1姨，∴ln（x＋1）＜xx＋1姨，，：xx＋1姨＋x＋1姨－1＜9xx＋6（*）：0＜x＜2，9xx＋6－（xx＋1姨＋x＋1姨－1）＝9xx＋1姨－x（x＋6）－（x＋6）x＋1姨（x＋1姨－1）（x＋6）x＋1姨＝（3－2x＋6x＋1姨）（x＋1姨－1）2（x＋6）x＋1姨＞0，（*），0＜x＜2，ln（x＋1）＋x＋1姨－1＜9xx＋6，．：这道题是2012年高考辽宁省数学理科卷的压轴题，应该说难度是非常大的，以上解法利用了上述的对数平均不等式a－blna－lnb＞ab姨，将ln（x＋1）＋x＋1姨－1＜9xx＋6这个不等式，巧妙地转化为证明：9xx＋6－（xx＋1姨＋x＋1姨－1）＞0成立即可．达到了化繁为简、化难为易的目的．4．n∈N*，：ni＝1Σ1i＞ln（n＋1）＋n2（n＋1）．：：ln（i＋1）－lni（i＋1）－i＜1i（i＋1）姨＝i（i＋1）姨i（i＋1）＜i＋（i＋1）2i（i＋1）＝2i＋12i（i＋1）＝2（i＋1）－12i（i＋1）＝1i－12i（i＋1）＝1i－［12（i＋1）－i－12i］，∴1i＞ln（i＋1）＋12（i＋1）－（lni＋i－12i），∴ni＝1Σ1i＞ni＝1Σ［ln（i＋1）＋12（i＋1）－（lni＋i－12i）］＝ln（n＋1）＋n2（n＋1），．：以上解法同样也是利用了对数平均不等式lnx－lnyx－y＜1xy姨（0＜y＜x），巧妙地将问题转化为ni＝1Σ［ln（i＋1）＋12（i＋1）－（lni＋i－12i）］这种裂项求和的问题，最后水到渠成、非常自然地得到了我们需要的结果．，———，，，，“”，，，．（：）徐国坚12