中考几何-半角模型

小马成群------初三数学专题复习旋转模型之半角page1of4MDNCBAQPDCBACHFEDBA半角例题：如图，将CBN绕点C顺时针旋转90，得CAD，连结MD，则ADBNn，CDCN，ACDBCN∠∠，∴MCDACMACD∠∠∠ACMBCN∠904545MCN．∴MDCMNC≌，∴MDMNx又易得454590DAM，∴在RtAMD中，有222mnx，故应选(B)练习：1、如图，正方形ABCD的边长为1，AB、AD上各存一点P、Q，若APQ的周长为2，求PCQ的度数．2、E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且45EAF∠，AHEF，H为垂足，求证：AHAB．小马成群------初三数学专题复习旋转模型之半角page2of4xmnNMCBA图1ABCDE图2ABCDE3、如图所示，在等腰直角ABC的斜边AB上取两点M、N，使45MCN，记AMm，MNx，BNn，求证：以x、m、n为边长的三角形的形状是直角三角形.4、已知：如图1在RtABC中，90BAC，ABAC，点D、E分别为线段BC上两动点，若45DAE．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把AEC绕点A顺时针旋转90，得到ABE，连结ED，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：⑴猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；⑵当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图2，其它条件丌变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．小马成群------初三数学专题复习旋转模型之半角page3of4nxmnNMDCBAPNMCBAQPDCBAFQPDCBACHFEDBACHFEGDBAxmnNMCBA解析：1、如图，正方形ABCD的边长为1，AB、AD上各存一点P、Q，若APQ的周长为2，求PCQ的度数解：把CDQ绕点C旋转90到CBF的位置，CQ=CF．∵2AQAPQP，又2AQQDAPPB，∴QD+BP=QP．又DQ=BF，∴PQ=PF．∴QCPFCP≌．∴QCPFCP．又∵90QCF，∴45PCQ．2、E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且45EAF∠，AHEF，H为垂足，求证：AHAB．解：延长CB至G，使BGDF，连结AG，易证ABGADF△≌△，BAGDAF∠∠，AGAF．再证AEGAEF△≌△，全等三角形的对应高相等(利用三角形全等可证得)，则有AHAB．3、如图所示，在等腰直角ABC的斜边AB上取两点M、N，使45MCN，记AMm，MNx，BNn，求证：以x、m、n为边长的三角形的形状是直角三角形.解：法１：如图所示，将CBN绕点C顺时针旋转90，得到CAD.连接MD，则ADBNn，CDCN，ACDBCN，故904545MCDACMACDACMBCNMCN，从而MDCMNC≌，则MDMNx.而454590DAM，故在直角三角形AMD中有222mnx.法2：我们用上一讲学习过的“对称变换”也能得到解答．如图所示，以CM为对称轴将CMA翻折到CMP的位置．易证CPN和CBN关于CN对称，且PMN为直角三角形，并且可得PMAMm，PNNBn，MNx．小马成群------初三数学专题复习旋转模型之半角page4of4图2ABCDE图1ABCDEFEDCBAE'EDCBA4、已知：如图1在RtABC中，90BAC，ABAC，点D、E分别为线段BC上两动点，若45DAE．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把AEC绕点A顺时针旋转90，得到ABE，连结ED，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：⑴猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；⑵当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图2，其它条件丌变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．⑴222DEBDEC证明：根据AEC绕点A顺时针旋转90得到ABE∴AECABE≌∴BEEC，AEAE，CABE，EACEAB在RtABC中∵ABAC∴45ABCACB∴90ABCABE即90EBD∴222EBBDED又∵45DAE∴45BADEAC∴45EABBAD即45EAD∴AEDAED≌∴DEDE∴222DEBDEC⑵关系式222DEBDEC仍然成立证明：将ADB沿直线AD对折，得AFD，连FE∴AFDABD≌∴AFAB，FDDBFADBAD，AFDABD又∵ABAC，∴AFAC∵45FAEFADDAEFAD9045EACBACBAEDAEDABDAB∴FAEEAC又∵AEAE∴AFEACE≌∴FEEC，45AFEACE180135AFDABDABC∴1354590DFEAFDAFE∴在RtDFE中222DFFEDE即222DEBDEC