5.1常微分方程

存在性与唯一性第五章线性微分方程组存在性与唯一性§5.1存在唯一性定理存在性与唯一性一、线性微分方程组的有关概念1线性微分方程组的定义定义形如'111112211()()()()nnxatxatxatxft'221122222()()()()nnxatxatxatxft'1122()()()()nnnnnnnxatxatxatxft(5.1)的微分方程组,称为一阶线性微分方程组.()(,,1,2,,),()(1,2,,)ijiatijnftinatb其中在上连续.存在性与唯一性()(1,2,,)ixtinatb设函数组在上连续,且1122()()()()(),iiiinnidxtatxatxatxftdt1,2,,in12(),(),,()(5.1)nxtxtxtatb则称函数组为微分方程组在上的一个解.12(5.1),,,nncc含有个独立的任常数c的解12,,,inccix=(x,c),i=1,2,,n称为(5.1)的通解.存在性与唯一性2函数向量和函数矩阵的有关定义(1)n维函数列向量定义为12()()()()nxtxtxtxt()(1,2,,)ixtin每一在区间I上有定义.()nnAt函数矩阵定义为1112122122212()()()()()()()()()()nnnnnatatatatatatAtatatatij每一a在I上有定义.注:对向量或矩阵的代数运算的性质,对于以函数作为元素的矩阵同样成立.存在性与唯一性(2)函数向量和矩阵的连续,微分和积分的概念如果函数向量x(t)或函数矩阵A(t)的每一元素都是区间,连续函数atb上的,连续则称x(t)或A(t)在atb上可微函数可微可积函数可积此时,它们的导数与积分分别定义为'1''2'()()(),()nxtxtxtxt'''11121''''21222'''12()()()()()()().()()()nnnnnnatatatatatatAtatatat存在性与唯一性0000122()()()()ttttttttxsdsxsdsxsdsxsds0000000000111212122212()()()()()()()()()()tttntttttttntttttttnnnntttasdsasdsasdsasdsasdsasdsAsdsasdsasdsasds注:关于函数向量与矩阵的微分,积分运算法则,和普通数值函数类似.存在性与唯一性(3)矩阵向量的范数定义12(,,,)(TnijnxxxxnnAann对维列向量及函数矩阵),定义它们的范数为1,niixx,1,nijijAa,,,(),()[,],ABnnxynAtxtab设是矩阵和是维列向量是在上可积的函数矩阵和向量则易验证有下面的性质01,ABAB,AxAx02,ABAB,xyxy03()(),bbaaxsdsxsds()(),bbaaAsdsAsds().ab存在性与唯一性(4)向量或矩阵序列的敛散性0121{}(,,,),(1,2,,),{}Tkkkknkikxxxxxiinx向量序列称为收敛的如果对每一个数列收敛.12{()},()((),(),,())Tkkkknkxtxtxtxtxt函数向量序列称为在atb收敛(1,2,,),{()}ikiinxtatb如果对每一个函数序列在上是收敛(一致收敛),(一致收敛).1(),kkxt02设是函数向量级数如果部分和所组成的函数向量序列在atb收敛1()kkxt则称在atb收敛(一致收敛),(一致收敛).存在性与唯一性如果(),,kkxtMatb1kkM而级数收敛,1()kkxt则函数向量级数在atb上一致收敛.{()}kxt如果函数向量序列在atb上一致收敛,则lim()lim(),bbkkaakkxtdtxtdt()kxtk=1如果函数向量级数在atb上一致收敛,则11()().bbkkaakkxtdtxtdt存在性与唯一性03对矩阵序列也有类结果{}kkkAnnAA(k)ijnn(k)ij设是矩阵序列,其中=(a),如果对一切i,j=1,2,,n,数列{a}都收敛,则称是收敛的.11kkkkAA设是矩阵级数,如果其部分和所组成的矩阵序列是收敛的,则称是收敛的.1kkA是收敛(k)ijk=1a收敛,i,j=1,2,,n.存在性与唯一性如果对每一整数k,都有,kkAM1kkM而收敛,1kkA则收敛.1()kkAt同样可给出函数矩阵级数一致收敛定义和有关结果.存在性与唯一性'111112211()()()()nnxatxatxatxft'221122222()()()()nnxatxatxatxft'1122()()()()nnnnnnnxatxatxatxft(5.1)3一阶线性微分方程组的向量表示对一阶线性微分方程组:()(()),ijnnAtat若记12(,,,),Tnxxxx12()((),(),,())Tnftftftft则(5.1)可写成()(),(5.4)dxAtxftdt存在性与唯一性(1)定义1(),(),Atatbnnftatbn设是上连续的矩阵是上连续的维列向量函数方程组'()(),(5.4)xAtxft([,][,])(),()(5.4),tabututt在的解向量是指在上满足即'()()()(),.utAtutftt(2)定义2初值问题'0()()()(),(),(5.5)utAtutftxt[,](),).ut00的解,就是方程组(5.4)在包含t的区间的解使得u(t存在性与唯一性例1验证向量()tteute是初值问题'011,(0)101xxx.t在区间上的解解:显然00(0)eue11,te-t因为e和处处有连续导数我们得到'()tteute0110ttee01(),10ut.因此,u(t)是给定初值问题的解存在性与唯一性4n阶线性微分方程的初值问题与一阶线性微分方程组的初值问题关系对n阶线性微分方程的初值问题()(1)1()()()nnnxatxatxft'(1)01020(),(),,()nnxtxtxt(5.6)0()(1,2,,),(),[,],(1,2,,)iiatinftatbtabin其中在上连续为常数.若令:1,xx'2,xx,',nxx存在性与唯一性则有:''12,xxx'''23,xxx'(1)1,nnnxxx'()1121()()()(),nnnnnxxatxatxatxft而且:'(1)1001200200()(),()(),,()()nnnxtxtxtxtxtxt即方程(5.6)可化为存在性与唯一性'121010000010000010()()()()()nnnxxatatatatft120()nxt(5.7)存在性与唯一性0()(5.6)ttatb若是在包含的区间的任一解,则令12()()()()ntttt'100200(1)00()(),()(),,()(),.nnttttttatb这里()(5.7)t则是的解显然:102000()()()()ntttt0'0(1)0()()()nttt12n存在性与唯一性且:'1''2'()()()()ntttt23(1)1()()()()()()nnntttatatft12101000010()0001()()()()nnntatatatat000()ft存在性与唯一性(5.7)T1n0反之,设u(t)=(u(t),u(t))是在包含t的区间[a,b]上的解()(5.6)t1定义函数(t)=u(t),则是的解,事实上,由'1'2'()()()nututut121010000100001()()()()nnnatatatat12()()()nututut000()ft知存在性与唯一性''12()()(),tutut'''23()()(),tutut(1)'1()()(),nnntutut()'11()()()()()()(),nnnntutatutatutft(1)1()()()()(),nnattattft即()(1)1()()()()()(),nnntattattft且(1)010100()(),,()()nnntuttut即初值问题(5.6)与(5.7)的解等价,即给出其中一个初问题的解,可构造另一个初值问题的解.存在性与唯一性例2''28,(0)1,(0)4txxtxexx将初值问题化为与之等价的一阶微分方程组的初值问题.解:设1(),xtx'2(),xtx则有''''228txxxtxe1282,ttxxe即有'12,xx'21282,txtxxe也即'1122()()01()()82xtxtxtxtt0te12(0)1(0)4xx存在性与唯一性注:每一个n阶线性微分方程可化为n个一阶线性微分方程构成方程组,反之却不成立.如:方程组'1122()()10()()01xtxtxtxt不能化为一个二阶微分方程.存在性与唯一性定理1假设)(tA是nn阶矩阵函数,)(tf是n维列向量.它们都在区间atb上连续的则对任意0[,]tab及任一n维常向量2,,,),Tn1=(,初值问题二、存在唯一性定理'0()()(5.5)()xAtxtxtf在区间atb上存在唯一解x=(t).1存在唯一性定理存在性与唯一性容易验证,初值问题(5.1)定义于区间atb的解，等价于积分方程2存在唯一性定理的证明定义于区间atb上的连续解.0()(()()()),,(5.8)tttAsssdsatbxxf证明共分五步完成第一步命题1设()t初值问题(5.1)定义于区间atb的解，则()t是积分方程（5.8）定义于区间atb上的连续解，反之亦然。存在性与唯一性01(),(5.9)()(()()()),tkktttAsssdsatb0f构造Picard向量函数序列{()}kt,第二步()k