计算方法课件_易大义主编

数值计算方法数理学院数学系计算方法——09计11、612/47诚信声明本课件中大量采用网络及其他渠道搜集的相关文字信息和图片信息，这些信息因数量较大，无法一一列明出处，本人在此郑重声明：这些相关资料的版权归原作者所有，本文引用仅仅用于教学目的。如有不妥，请与本人联系，联系方式：[e-mail]。在此对相关资料的作者所付出的辛勤劳动表示衷心的感谢，并对作者表示诚挚敬意！本人郑重承诺：尊重知识，尊重劳动，尊重版权，学术诚信。计算方法——09计11、613/47联系方式课程网站(校内访问)E－mail地址[e-mail]办公室泉山9＃701室计算方法——09计11、614/47本课程成绩的组成平时成绩（占15％）：包括出勤、课堂提问、讨论情况等。实验成绩（占25％）：包括出勤、实验报告（预习报告）等。期末成绩（占60％）。总成绩：100％。计算方法——09计11、615/47课程基本信息总学时56其中上课40学时；上机16学时。主要讲授如何解决各种工程技术问题，用数学语言描述问题，即建立数学模型，将之转化为一个数学问题，寻求合适的近似计算方法，编程计算，充分发挥计算机的记忆和快速运算功能，寻求最佳方案。本课程先修课程为：高等数学、线性代数、程序设计语言计算方法——09计11、616/47教材《计算方法》,易大义等,浙江大学出版社,2002年第2版计算方法——09计11、617/47主要参考书1.《数值分析引论》,易大义陈道琦,浙江大学出版社,1998年第1版计算方法——09计11、618/47主要参考书2.《数值分析基础教程》,李庆杨,高等教育出版社,2001年第1版计算方法——09计11、619/47主要参考书3.《数值方法和MATLAB实现与应用》,（美）GeraldRecktenwald著伍卫国万群张辉等译,机械工业出版社,2004年第1版其他各类有关“数值分析”和“计算方法”的书计算方法——09计11、6110/47《计算方法》课程体系第一章数值计算中的误差第二章插值法第三章曲线拟合的最小二乘法第四章数值积分第五章非线性方程的数值解法第六章方程组的数值解法第七章常微分方程数值解法计算方法——09计11、6111/47《计算方法》课程体系本课程的内容数值逼近数值代数常微分方程的数值方法插值法数据拟合的最小二乘法数值积分和数值微分*线性方程组的求解非线性方程组的求解矩阵特征值*第一章数值计算中的误差3学时计算方法——09计11、6113/47本章内容§1.1引言§1.2误差的种类及其来源§1.3绝对误差和相对误差§1.4有效数字及其与误差的关系§1.5误差的传播与估计§1.6选用算法应遵循的原则小结作业与实验计算方法——09计11、6114/47本章要求1.熟悉计算方法在解决实际问题中所处的地位,熟悉计算方法是以计算机为工具求近似解的数值方法；2.熟悉绝对误差（限），相对误差（限）及有效数字概念；3.熟悉公式；4.熟悉选用算法应遵循的原则。计算方法——09计11、6115/47§1.1引言解决科学技术和工程问题的步骤:什么是数值计算方法:将所预求解的数学模型简化成一系列算术运算和逻辑运算,以便在计算机上求解,并对算法的稳定性、收敛性和误差进行分析。实际问题数学问题提供计算方法程序设计上机计算结果分析计算方法——09计11、6116/47§1.1引言简单地说，就是研究如何用计算机有效地解决一个数学问题。如何理解这两个含义？这句话有两个含义（1）有一个有效的数学方法（2）一个能实现方法的有效程序（算法）——先看两个例子计算方法——09计11、6117/47§1.1引言算法影响计算的速度和效率（见课本P2秦九韶算法）例1古代中国人的贡献——多项式的计值：设f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an原始的算法需：n+n-1+…+1=n(n+1)/2次乘法。秦九昭算法：f(x)=(...(a0x+a1)x+…+an-1)x+an仅需n次乘法。计算代价快速下降。计算方法——09计11、6118/47§1.1引言算法影响计算的精度例2设多项式为(x-2)9,我们来计算其在区间[1.92,2.08]上的值。令p(x)=(x-2)9q(x)=x9–18x8+144x7–672x6+2016x5-4032x4+5376x3–4608x2+2304x-512则p(x)=q(x)，以下我们分别作画p(x)与q(x)的图。计算方法——09计11、6119/47上例说明，即使数学上的恒等公式，用计算机来算，结果也是不一样的。p(x)q(x)计算方法——09计11、6120/47§1.2误差的种类及其来源一.误差来源例1，例2的结果的根源实际问题数学模型建立算法上机计算结果(初值误差)观测误差模型误差(方法误差)截断误差舍入误差计算方法——09计11、6121/47§1.2误差的种类及其来源二.误差分类1.模型误差（描述误差）/*ModelingError*/简化，抽象问题后建立的数学模型与实际问题之差。2.观测误差/*MeasurementError*/观测和实验得到的参量（物理量为电压、电流、温度等）计算方法——09计11、6122/47§1.2误差的种类及其来源3.截断误差（方法误差）/*TruncationError*/有限过程代替无限过程的误差（无穷级数求和，只能取前面有限项求和来近似代替）。这种计算方法本身出现的误差，所以也称为方法误差。如右端是截断误差。,......!5!3sin53xxxx......!5)!3(sin53xxxx计算方法——09计11、6123/47§1.2误差的种类及其来源4.舍入误差/*RoundoffError*/计算机字长有限，一般实数不能精确存储，于是产生舍入误差。例如：在10位十进制数限制下：舍入误差很小，本课程将研究它在运算过程中是否能有效控制。））本应（、）本应、1222104040000000000.0000004.1040000040000.1000004.1000002.1(0000004.1)000002.1(233333333333.031(3333333333.0311计算方法——09计11、6124/47§1.2误差的种类及其来源据说,美军1910年的一次部队的命令传递是这样的:营长对值班军官:明晚大约8点钟左右,哈雷彗星将可能在这个地区看到,这种彗星每隔76年才能看见一次。命令所有士兵着野战服在操场上集合,我将向他们解释这一罕见的现象。如果下雨的话,就在礼堂集合,我为他们放一部有关彗星的影片。值班军官对连长:根据营长的命令,明晚8点哈雷彗星将在操场上空出现。如果下雨的话,就让士兵穿着野战服列队前往礼堂,这一罕见的现象将在那里出现。计算方法——09计11、6125/47§1.2误差的种类及其来源连长对排长:根据营长的命令,明晚8点,非凡的哈雷彗星将身穿野战服在礼堂中出现。如果操场上下雨,营长将下达另一个命令,这种命令每隔76年才会出现一次。排长对班长:明晚8点,营长将带着哈雷彗星在礼堂中出现,这是每隔76年才有的事。如果下雨的话,营长将命令彗星穿上野战服到操场上去。班长对士兵:在明晚8点下雨的时候,著名的76岁哈雷将军将在营长的陪同下身着野战服,开着他那“彗星”牌汽车,经过操场前往礼堂。计算方法——09计11、6126/47§1.3绝对误差和相对误差一．绝对误差/*absoluteerror*/设——准确值，——近似值。称为的绝对误差(简称误差)为的绝对误差限。二．相对误差/*relativeerror*/称为的相对误差。实用中，常用表示的相对误差。称为的相对误差限。x*xxxxe*)(|)(|xe*x*xxxexer)()(*xxxe)()(xre*x*x计算方法——09计11、6127/47§1.4有效数字及其与误差的关系一．有效数字/*significantdigits*/为有效数。，则称＝若位有效数字，分别是具有则说若设*21*121,,,)2.4.1P10(1021*),0(10).0(xpnaaanxxxpaaaaaxnnmmpn一定要从规格化后的数来判断其位数有效位数与第一个非0项后的数字个数是不一致的。四舍五入所得到的数是一致的。计算方法——09计11、6128/47§1.4有效数字及其与误差的关系。，，分别是位有效数字有由有效数字定义可知故该不等式又可写为又：末位的的半个单位，即不超过则误差经“四舍五入”所得，是某数＝：设例072,3*,1021*)270.0(101021*0270.03311*4**)(*xxxxxxxexxx注:四舍五入规则修正为四舍五以上入,五时若前一位是偶数则5舍去,奇数则进一,以减少积累误差。计算方法——09计11、6129/47§1.4有效数字及其与误差的关系不是有效数。故不是有效数字，中的数字由于。，，位有效数字，分别是有故，＝，：例*9*8233*1021*102105.004.0*89.3293.324321*xxxxxxxxx计算方法——09计11、6130/47§1.4有效数字及其与误差的关系二．有效数位与误差的关系*)(xe位有效数字。至少有则反之，若）（位有效数字，则具有定理：若近似数）（由定义越小越多，则绝对误差有效数位nxaxeaxenxxennrnr)1(1)()1(1)()(10)1(214.4.1P111021.22.4.1.1计算方法——09计11、6131/47§1.4有效数字及其与误差的关系证：证毕。位有效数字。至少具有因此，反之，由位有效数字时，有，故当因nxaaxaaxnxaxanmnmrnmnmrmm,105.010)1(2110)1(102110105.010)1(1011111111*1*1计算方法——09计11、6132/47§1.4有效数字及其与误差的关系例5：为使*的相对误差小于0.001%,至少应取几位有效数字？解：假设*取到n位有效数字，则其相对误差上限为要保证其相对误差小于0.001%，只要保证其上限满足已知a1=3，则从以上不等式可解得n6log6，即n6，应取*=3.14159。111021*nraε%001.01021*11nraε计算方法——09计11、6133/47§1.5误差的传播与估计例：蝴蝶效应——纽约的一只蝴蝶翅膀一拍，风和日丽的北京就刮起台风来了？！以上是一个病态问题/*ill-posedproblem*/关于本身是病态的问题，还是留给数学家去头痛吧！NYBJ计算方法——09计11、6134/47§1.5误差的传播与估计一.一元函数情形误差传播）。数值的误差的近似式（差引起的函）给出了自由变量的误）和（（）（得两边除以）（展开公式，由，则设4.13.14.1*)()(3.1*)(*)(*)(*)*)((*)()(**)()()(*)(**)(*)('*)(*)(*)('**)(*)(*****xrxxfxfyrrxfxfxyyyreexeeexfyxexfyexxxfxfxfyyyeTaylorxfyxfy计算方法——09计11、6135/47§1.5误差的传播与估计二.多元函数情形）（）（展开公式类似可得由多元函数的则，设4.5.1*)(**),*,*,(*),*,*,(*)(3.5.1*)(*),*,*,(*)(*),*,*,(*),,,(212112112121irinnin