酒驾问题的数学建模

饮酒驾车的数学模型学院：数学学院姓名：赵景阳班级：15-数学四班学号：10154181【摘要】本文的目的在于，通过对人饮酒后体内酒精含量进行建模，然后根据所建模型，对相关问题进行分析和处理，并予以解决。本文主要根据假设合理条件，用常微分方程建立酒精在人体内的变化模型。以时间为变量，分类讨论酒精在人体内的变化。最后，根据国家酒驾标准，结合所建立的模型，给司机朋友发出忠告。【关键词】房室系统、MATLAB、酒后驾车，常微分方程。一、问题重述小王，12点喝一瓶啤酒，18:00被检查合格，吃晚饭喝一瓶啤酒，夜里2点，开车回家。讨论问题：（1）如果小王凌晨2点驾车上路遇到酒驾检查，问他能否顺利通过?（2）喝3瓶啤酒，隔多久开车会违反标准，并回答：1）酒是在很短时间内喝的；2）较长一段时间内喝的。（2小时内）3）估计体内酒精含量达到MAX的确切时间。4）根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？5）提出忠告。参考数据1.国家标准：驾驶员血液的酒精含量20毫克／百毫升，80毫克／百毫升为饮酒驾车，80毫克／百毫升为醉酒驾车。2.体液占人体重的65%至70%，3.体重70kg人短时间内喝下2瓶啤酒后其体内酒精含量（毫克／百毫升），数据如下：时间(小时)0.250.50.7511.522.533.544.55酒精含量306875828277686858515041时间(小时)678910111213141516酒精含量3835282518151210774二、模型假设1、喝酒越多，酒精发散到体内的速率越快。2、酒精浓度越大，酒精吸收速率越大3、酒精被吸收的过程中不考虑损失。4、酒精均匀分布。三、符号说明0D：短时间喝酒的酒精量。K1:酒精由吸收室到中心室的速率系数；K2:酒精从中心室到体外的速率系数；C(t):中心室中的酒精含量；T：长时间酒精达到MAX时间；k0:酒精摄入胃的速率；Y(t)：人的酒精含量；V0:体液容积；f1(t):酒精被吸收速率；f2(t):酒精消化速率；X(t):胃里的酒精含量。四、模型建立（一）、模型分析：设酒以速率k0进入胃，再以f1(t)进入人体，再以f2(t)被消化。建立模型：单房室系统，胃：吸收室，体液：中心室。体外f2(t)体外k0k2f1(t)k1图一X(t)胃y(t)c(t)体液v0（二）模型建立：根据假设，建立方程：f1(t)=k1x(t)(1)f2(t)=k2y(t)(2)dx(t)dt=k0−f1(t)(3)进而：dx(t)dt=k0−k1X(t)（4）得：k0=dx(t)dt+k1X(t)（5）求解可得：{x(t)=c1e−k1t+A1A1=k0k1c1+A1=x(0)=x0（6）又因为f1(t)=k1x(t)，联合（6）可得：f1(t)=k1c1e−k1t+k1A1（7）=k1c1e−k1t+k0=（k1x0−k0）e−k1t+k0对体液可建立方程组如下：{dy(t)dt=f1(t)−f2(t)y(0)=y0(8)将（2）式代入可得：dy(t)dt=f1(t)−k2y(t)即dy(t)dt+k2y(t)=f1(t)因为f1(t)=（k1x0−k0）e−k1t+k0，代入上式可得：dy(t)dt+k2y(t)=（k1x0−k0）e−k1t+k0（9）解得：y(t)=c2e−k1t+k0k2+k1x0k2−k1e−k1t=c2e−k2t+A2+B2e−k1t（10）（其中A2=k0k2，B2=k1x0−k0k2−k1，A2+B2+c2=y(0)=y0）。浓度=酒精量/体液容积:c(t)=c3e−k2t+A3+B3e−k1t（11）（其中，c3=c2v0,A3=k0k2v0,B3=k1x0−k0(k2−k1)v0,A3+B3+c3=c(0)=c0）（三）模型的讨论：1、当酒是在较短时间内喝时此时有X(0)=D0=x0，k0=0，c0=0。因为：A3=k0k2v0,B3=k1x0−k0(k2−k1)v0，c3=c2v0计算得：A3=0,B3=k1D0(k2−k1)v0，c3=−B3代入上式：c(t)=−B3e−k2t+B3e−k1t=−B3(e−k2t−e−k1t)=A[e−k2t−e−k1t](12)(其中A=−B3=k1D0(k1−k2)v0)。当t比较大时，k1≫k2，故c(t)≈Ae−k2t，lnc(t)=lnA-k2t现利用参考数据：时间(小时)0.250.50.7511.522.533.544.55酒精含量306875828277686858515041时间(小时)678910111213141516酒精含量3835282518151210774通过Matlab进行曲线拟合可得：A=118.5459k2=0.1940一瓶啤酒的酒精量:640ml，密度:810mg/ml酒精浓度:4.5%，两瓶啤酒的酒精量mgD46656%5.481064020体重为70kg,体液质量为体重的65%左右，体液密度为1.05mg/ml，所以可得体液的总体积为v0=70×65%×1031.05×100=433.33毫克/百毫升又A=k1D0(k1−k2)v0，可得k1=2.114。综上:此条件酒精含量与时间关系式：c(t)=118.5459[e−0.1940t−e−2.114t]（13）用matlab作图：（图二：拟合曲线）2、较长时间内时：当t，T0时，可得：{dx(t)dt=k0−k1x(t)dy(t)dt=f2(t)−k2y(t)(14)此时k0=D0T，X(0)=0y(0)=0则：y(t)=c2e−k2t+A2+B2e−k1t(其中A2=k0k2，B2=k1x0−k0k2−k1，A2+B2+c2=y(0)=y0)由上可得：c(t)=c3e−k2t+A3+B3e−k1t（15）(其中c3=c2x0,A3=k0k2y0,B3=k1x0−k0(k2−k1)v0)即：c(t)=−（A3+B3）e−k2t+A3+B3e−k1t=A3(1−e−k2t)−B3（e−k2t−e−k1t）得出：A3=k0k2y0=D0Tk2v0=466562×0.1940×433.32=277.5025909B3=−k0(k2−k1)v0=−D0T(k2−k1)v0=−466562(0.1940−2.114)×433.33=28.0386772所以：c(T)=A3(1−e−k2t)−B3（e−k2t−e−k1t）=B(e−k2t−e−k1t)=Be−k2T（16）tT时，中心室酒精浓度与时间关系式：c(t)=k1x(T)(k1−k2)v0×[e−k2(t−T)−e−k1(t−T)]+c(T)e−k2(t−T)x(T)=k1x0−k0k1e−k2T+k0k1=k0k1(1−e−k1T)c(T)=k0k2y0(1−e−k2T)+k0k2−k1(e−k1T−e−k2T)综上所述，当tT：{c(t)=k1x(T)(k1−k2)v0×[e−k2(t−T)−e−k1(t−T)]+c(T)e−k2(t−T)x(T)=k0k1(1−e−k1T)c(T)=k0k2y0(1−e−k2T)+k0k2−k1(e−k1T−e−k2T)（17）五、问题求解问题一：设小王第一次喝酒在短时间内完成，我们可以得到关系式：c(t)=k1D0(k1−k2)v0[e−k2t−e−k1t]已求解：k1=2.114，k2=0.1940，D0=23328mg,v0=433.33。c(t)=59.27295[e−0.1940t−e−2.114t]当6t时，得c(t)=18.2778毫克/百毫升，未超过国家标准，所以第一次检查时没有饮酒驾驶，如图图三小王第二次喝酒满足在较长时间内喝酒的条件，关系式：c(t)=A[e−k2t−e−k1t]+A[e−k2(t−T)−e−k1(t−T)]其中，A=59.27295,k2=0.1940，k1=2.114，T=6。t=14，c(t)=20.3618毫克/百毫升，20mg/100ml,所以小王凌晨2点驾车上路遇到酒驾检查，无法通过，见下图：图四问题二：（2）较短时间条件下，根据模型，关系式：c(t)=ce−k2t+k0k2y0+k1x0−k0(k2−k1)v0e−k1t由于t十分小，x0=D0，k0=0则：c(t)=ce−k2t−k1D0(k2−k1)v0e−k1t又c(0)=0c(t)=k1D0(k2−k1)v0（e−k2t−e−k1t）三瓶啤酒，D0=3×640×810×4.5%=69984mg,v0=70×65%×1031.05×100=433.33百毫升，k2=0.1915，k1=2.114。所以：][81885.177)(114.21940.0tteetc当百毫升毫克/20)(tc时，可求得t=11.3。故此条件下，经过11.3小时后开车,不是饮酒驾车。（2）当较长时间内喝酒时，体液内洒精含量与时间关系式：020021012)()(vkkevkkkcetctktk此时0)0(x，TDk00，0)0(c，][)()1()(2120210020tktktkeeTvkkDeTvkDtc因为已知mgD699800，114.21k，1940.02k，33.4330v百毫升，百毫升毫克/20)(tc，t=13.5小时，在较长时间（如二个小时）喝下三瓶啤酒后，只有在13.5小时后开车，就不会违反规定。问题三：（1）短时间内喝酒时根据模型可知：][)()(1202101tktkeeVKKDktc当c`(t)=0时，得：23.1212ln1lnkkkkT当23.1lnln2121kkkkTt时，)(tc取得峰值（2）、当在较长时间内喝酒时Tt0时，][)()1()(2120210020tktktkeevkkkevkktc求导得：cc`(t)=k1k0(k1−k2)v0（e−k2t−e−k1t）由K1大于K2知，0)(tc中心室酒精浓度不可能达到MAX。Tt时，)(2)(1)(20211)(][)()()(TtkTtkTtkeTceevkkTxktc其中]1[)(2101011001TkTkekkkkekkxkTx当T比较大时，)(TX10kk，)(Tc020vkk，)(2)(1)(20211)(][)()()(TtkTtkTtkeTceevkkTxktc对)(tc求导得：c`(t)=k1x(T)(k1−k2)k2v0e−k2(t−T)−k0(k1−k2)v0e−k2(t−T)可以推出：)(02110)(0211012)()()(TtkTtkevkkkkevkkkktc][)()()()(0211021TtkTtkeevkkkktc由K1K2知，0)(tc中心室酒精浓度不可能在tT时达到max。综上所述，长时间喝酒，酒精含量达到峰值的确切时间是在喝酒结束。所以二个小时时含量最高。问题四:倘若每天喝酒,每次酒量均匀,每隔喝一次;n次后,时间t=nT,T1.23.n次模型相加,即:nTknTkTknTkTkTkTnkTkTkeeeAeeeAAeAeAenTc2222222221)1()(................)([...........)(2当n时,上式可近似为TkTkeeAnTc221)(如不被判定为饮酒驾车,则:c(nT)≤20,代入：A=BBvkkDk1)(021012033.433)1(20)()1(201210BBkkkBBD啤酒瓶数为a瓶7.17297297.1124683.2340。综上所述,每天饮酒不超过1.7瓶，就不会违反规定。给司机朋友的建议开车不喝酒，喝酒不开车！酒文化在中国影响深远，在当今社会发展中，餐桌文化又极其盛行，吃饭应酬免不了小酌几杯，一不小心就饮酒驾车。也是无可厚非，但是，酒驾不可取酒驾引起的交