2015年全国数学竞赛试题及答案2017.1.27

全国历年竞赛试卷——2015年全国竞赛试题12015年福建省初中数学竞赛考试时间2015年3月15日9∶00－11∶00满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．已知312a，则3222621aaaa（）A．3B．3C．32D．322．将编号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子内，每个盒子放2个球。则编号为1，2的小球放入同一个盒子内的概率为（）A．215B．15C．25D．353．已知圆O是边长为63的正三角形ABC的内切圆，圆1O圆O外切，且与ABC△的CA边、CB边相切，则圆1O的面积为（）A．B．2C．3D．44．如图，P为等腰三角形ABC内一点，过P分别作三条边BC、CA、AB的垂线，垂足分别为D、E、F。已知10ABAC，12BC，且133PDPEPF∶∶∶∶。则四边形PDCE的面积为（）A．10B．15C．403D．5035．记()Sn为非负整数n的各个数位上的数字之和，如(0)0S，(1)1S，(1995)199524S。则(1)(2)(3)(2015)SSSSL（）A．28097B．28098C．28077D．28087二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．已知直线23yx与抛物线2231yxx交于11()Axy，、22()Bxy，两点，则121111xx。7．如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E、F分别在边BC、CD上，且45EAF。则CEF△的周长为。8．若13x时，二次函数2234yxax的最小值为23，则a。9．已知正整数p，q满足32016pq，则整数对()pq，的个数是。10．x表示不超过x的最大整数，则满足条件2252xxxx，的x的取值范围为。三、解答题（共4题，每小题20分，共80分）11．如图，二次函数2ymxnxp的图像过A、B、C三点，其中(11)C，，点A、B在x轴上（A在点O左侧，B在点O右侧），且25sin5BAC，5sin5ABC。（1）求二次函数的解析式；（2）求ABC△外接圆的半径。12．已知关于x的方程2244200xxnn有有理数根，求正整数n的值。全国历年竞赛试卷——2015年全国竞赛试题213．如图，ABC△是等腰直角三角形，CACB，点N在线段AB上（与A、B不重合），点M在射线BA上，且45NCM。求证：222MNAMBN。14．在0与21之间插入n个正整数1a，2a，…，na，使其满足12021naaaL。若1，2，3，…，21这21个正整数都可以表示为0，1a，2a，…，na，21这2n个数中某两个数的差。求n的最小值。全国历年竞赛试卷——2015年全国竞赛试题32015年福建省初中数学竞赛试题参考答案考试时间2015年3月15日9∶00－11∶00满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．已知312a，则3222621aaaa（）A．3B．3C．32D．32【答案】A【解答】由312a，知231a，213a，24413aa，2212aa。∴3232222626112133212222aaaaaaaaaaaa21(31)13a。2．将编号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子内，每个盒子放2个球。则编号为1，2的小球放入同一个盒子内的概率为（）A．215B．15C．25D．35【答案】B【解答】将6个小球分成3堆，每堆2球，共有下列15种不同的分堆方法（堆与堆之间不考虑顺序）：(12)，，(34)，，(56)，；(12)，，(35)，，(46)，；(12)，，(36)，，(45)，；(13)，，(24)，，(56)，；(13)，，(25)，，(46)，；(13)，，(26)，，(45)，；(14)，，(23)，，(56)，；(14)，，(25)，，(36)，；(14)，，(26)，，(35)，；(15)，，(23)，，(46)，；(15)，，(24)，，(36)，；(15)，，(26)，，(34)，；(16)，，(23)，，(45)，；(16)，，(24)，，(35)，；(16)，，(25)，，(34)，。其中，编号为1，2的小球分在同一堆的情形有3种。∴编号为1，2的小球放在同一个盒子内的概率为31155。3．已知圆O是边长为63的正三角形ABC的内切圆，圆1O圆O外切，且与ABC△的CA边、CB边相切，则圆1O的面积为（）A．B．2C．3D．4【答案】A【解答】如图，设圆O切CB边于D，圆1O切CB边于E，且圆O的半径为R，圆1O的半径为r。由ABC△是边长为63的正三角形，知2363632OC，1363332ROD，∵圆1O圆O外切，且与ABC△的CA边、CB边相切，∴O、1O、C三点共线，30OCD，1122OCOEr。∴112336OCOOOCRrrr，1r。∴圆1O的面积为21。4．如图，P为等腰三角形ABC内一点，过P分别作三条边BC、CA、AB的垂线，垂足分别为D、E、F。已知10ABAC，12BC，且133PDPEPF∶∶∶∶。则四边形PDCE的面积为（）A．10B．15C．403D．503【答案】C【解答】如图，连结PA，PB，PC。易知1128482ABCS△。又111222ABCPBCPCAPABSSSSBCPDCAPEABPF△△△△65548PDPEPF，133PDPEPF∶∶∶∶。∴43PD，4PEPF。由PEPF，知点P在BAC的平分线上，A、P、D三点共线。∴222PCPDDC，2222222224196()6439ECPCPEPDDCPE。（第4题图）（第3题答题图）（第4题答题图）全国历年竞赛试卷——2015年全国竞赛试题4∴143EC。∴111411440642223233PDCPECPDCESSSPDDCPEEC△△四边形。5．记()Sn为非负整数n的各个数位上的数字之和，如(0)0S，(1)1S，(1995)199524S。则(1)(2)(3)(2015)SSSSL（）A．28097B．28098C．28077D．28087【答案】B【解答】设(0)(1)(2)(1999)SSSSSL。则2(1999)2000S，28000S。又(2000)(2001)(2002)(2009)210(0129)65SSSSLL，(2010)(2011)(2012)(2013)(2014)(2015)34567833SSSSSS，∴(1)(2)(3)(2015)28000653328098SSSSL。二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．已知直线23yx与抛物线2231yxx交于11()Axy，、22()Bxy，两点，则121111xx。【答案】95【解答】由223231yxyxx，得22520xx。……………①依题意，1x，2x为方程①的两根，1252xx，121xx。∴21111212121252(1)(1)()21192511(1)(1)()15112xxxxxxxxxxxx。7．如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E、F分别在边BC、CD上，且45EAF。则CEF△的周长为。【答案】2【解答】如图，在CD的延长线上取点G，使得DGBE，连结GA。则由ABCD为正方形，易得ABEADG△≌△。∴BAEDAG，AEAG。∵45EAF，∴GAFGADDAFBAEDAF9045EAFEAF。于是，在EAF△与GAF△中，AEAG，EAFGAF，AFAF。∴EAFGAF△≌△，EFGF。CEF△的周长112lECEFFCBEGFFCGDGDDFFC。8．若13x时，二次函数2234yxax的最小值为23，则a。【答案】5【解答】∵222392342()448yxaxxaa，13x，∴若314a，即43a时，则当1x时，y取最小值63a。由6323a知，29433a，不符合要求。若3134a，即443a时，则当34xa时，y取最小值2948a。由294238a知，224a，得26a，均不符合要求。若334a，即4a时，则当3x时，y取最小值229a。由22923a知，5a，符合要求。∴5a。9．已知正整数p，q满足32016pq，则整数对()pq，的个数是。【答案】3【解答】由32016pq，知20163pq，2016620169pqq。由p，q为正整数知，20161214qp为整数。∴214px（其中x为正整数）。同理，214qy（y为正整数）。于是，312xy（x，y为正整数）。∴91xy，62xy，33xy。∴满足条件的整数对()(1481141)pq，，，或(1436144)，，或(149149)，。（第7题图）（第7题答题图）全国历年竞赛试卷——2015年全国竞赛试题5∴满足条件的整数对()pq，的个数为3。10．x表示不超过x的最大整数，则满足条件2252xxxx，的x的取值范围为。【答案】102x或562x【解答】（1）当0x时，1x，21x，20x。∴0x时，方程22xxx无解。（2）当102x时，20xx，20x，等式22xxx成立。（3）当112x时，21xx，20x，等式22xxx不成立。（4）当312x时，23xx。2914x，21x或22x。等式22xxx不成立。（5）当322x时，24xx。2944x，22x或23x。等式22xxx不成立。（6）当522x时，26xx，由26x知，67x。于是，562x。综合得，满足条件的x的取值范围为102x或562x。三、解答题（共4题，每小题20分，共80分）11．如图，二次函数2ymxnxp的图像过A、B、C三点，其中(11)C，，点A、B在x轴上（A在点O左侧，B在点O右侧），且25sin5BAC，5sin5ABC。（1）求二次函数的解析式；（2）求ABC△外接圆的半径。【解答】（1）作CEx轴于E，则1CE。由25sin5BAC，5sin5ABC知，52CA，5CB。∴12EA，2EB。∴点A坐标为3(0)2，，点B坐标为(10)，。………5分设所求二次函数的解析式为3()(1)2ymxx。将点(11)C，的坐标代入二次函数解析式，得31(1)(11)2m。∴1m，二次函数得解析