高一数学平面向量单元复习10

第二章平面向量复习知识结构t57301p2实际背景基本定理坐标表示数量积向量线性运算向量的实际应用知识梳理1.向量的有关概念（1）向量：既有大小，又有方向的量.模为零的向量.（2）向量的模（或长度）：（3）零向量：表示向量的有向线段的长度.（4）单位向量：模为1的向量.（8）向量的数量积：（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量.（6）相反向量：长度相等且方向相反的向量.（7）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量.a·b=|a||b|cosθ.三角形法则:2.向量的几何运算（1）加法运算：平行四边形法则:ｂa＋baaｂa＋b（2）减法运算：三角形法则:平行四边形法则:ｂa＋baa-b-ｂｂa3.向量定理（1）共线定理：（2）基本定理：向量a（a≠0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b=λa.若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.练习设a，b是两个不共线向量。AB=2a+kbBC=a+bCD=a-2bA、B、D共线则k=_____(k∈R)解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b2a+kb=λ(2a-b)=2λa-λb2=2λλ=-1k=-λk=-1∴k=-1∴MCBANMNbaABABC为基底表示，以中，,CB43CMCA,41CNb,AC,aabMN4321向量的数量积1、数量积的定义：||||cosabab2、投影：||cosb叫做ba在方向上的投影3、数量积的几何意义：ab等于a的长度||aba在方向上的投影与||cosb的乘积。||||cosabab10()abab2()||||;ababab当与同向时，||||;ababab当与反向时，特别地，2||aaa||aaa或2a(3)cos||||abab4()||||||abab4、数量积的重要性质ab设、是非零向量5.数量积的运算律：123()()()()()()()abbaababababcacbcabcR其中、、是任意的三个向量，6.对任意向量有下面的结论.,,ab222222();()().abaabbababab(1)(2)1122(,),(,),axybxy设两个非零向量则2211222221211()(,),||,),(,),||()()axyaxyaxyxyaxxyy设则设表示的有向线段的起点和终点的坐标分别为（那么112212121221200()(,),(,),//axybxyabxxyyabxyxy设则1212abxxyy向量的坐标运算（加、减、数乘)数量积cos||||abab121222221122xxyyxyxy1122,(,),(,),,abaxybxyab设都是非零向量是与的夹角根据向量数量积的定义及坐标表示可得向量的模及夹角2222222)(bbaabbaababa例已知，且与不共线，k为何值时，向量与互相垂直。||3,||4abaakbbakb3434,,kkakbakb也就是说当时与互相垂直.22222394169160,abk　　22200()(),akbakbakbakbakb解：与互相垂直的条件是即例已知，的夹角60º，求||6,||4ab与ab(2)(3)abab。:(2)(3)6ababaaabbb解　22||||||cos6||aabb22||6||aabb　22664cos606472　有向线段的中点坐标公式21PP222121yyyxxx例、已知A（1、2），B（2，3），C（2，5），试判断ΔABC的形状,并给出证明.证明:∵AB=（21，32）=（1，1）AC=（21，52）=（3，3）∴ABAC=1╳（3）+1╳3=0∴AB⊥AC∴ΔABC是直角三角形注：两个向量的数量积是否为零是判断相应的两条线段或直线是否垂直的重要方法之一。BC如证明四边形是矩形，三角形的高，菱形对角线垂直等。AOxy567430282:()()()ab解5741,,,()ababab例6设（，）（6，）求及间的夹角精确到222257746452||,||()()ab11692cos..rad利用计算器中的键得20037452cos.由计算器得例已知向量a、b满足：|a|=4，且a·(a－b)=12，求向量b在a方向上的投影.1例2已知非零向量a、b满足：(a－b)⊥b，且(a＋2b)⊥(a－2b)，求向量a与b的夹角.60°23120oabab已知，，与的夹角为，求练习4：）（））（；（）；（）（babababa3232122；）；（）（baba54解：3)21(32120cos1obaba）（22352323bbaababa）（））（（59422222baba）（223120cos52bbaao342715879642)(4222bbaababa）（199642)(5222bbaababa）（设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a，4b－2c，2(a－c），d的有向线段首尾相接能构成四边形，求向量d的坐标.d＝(－2，－6)设向量a与b的夹角为θ，已知a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8，16)，求cosθ的值.6563cos已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，－4)，|c|=，若(a＋b)·c=，求向量a与c的夹角.552120°