1[1].3.2函数的极值与导数.ppt1

1.3.2函数的极值与导数冷水江一中孙祝梧复习:已知函数()yfx在某个区间内可导,函数在该区间如果()0fx，那么函数()yfx在这个区间上单调递增；如果()0fx，那么函数()yfx在这个区间上单调递减．如果()0fx，那么函数()yfx在这个区间上是常数函数．说明:1.用导数法讨论函数的单调性的步骤：⑴求出函数的导函数;⑵解不等式()0fx，求得其解集，再根据解集写出增区间;⑶解不等式()0fx，求得其解集，再根据解集写出减区间;2.已知函数的单调性求参数的取值范围问题时常利用下面关系来求解：“若函数单调递增,则()0fx≥;若函数单调递减,则()0fx≤”.注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解，但同时也要注意检验是否恒等于0,否则也可能会增解.?,??th,.,at,,8.3.1规律导数的符号有什么变化地相应特点此点附近的图象有什么是多少呢在此点的导数函数那么距水面的高度最大高台跳水运动员时我们发现观察图thOa83.1图.,值的过程形象解释利用导数找极通过动画实验0th'单调递增0th'单调递减0ah'93.1图;0ah,.93.1,that'出可以看如图图象的附近函数放大',,0;tahtht当时函数单调递增',,0.tahtht当时函数单调递减''''',,(,0)(,0).,,,,.0tatahttahttaahththa这就是说在附近函数值先增时后减时这样当在附近从小到大经过时先正后负且连续变化于是有?,xfy是否也有同样的性质呢对于一般的函数,ta在附近?xfy,?xfy?j,i,h,g,f,e,d,c,b,axfy,113.1103.1有什么规律的导数的符号在这些点附近值是多少在这些点的导数的函数值有什么关系附近等点的函数值与这些点在函数图和如图探究cdefoghijxyxfyaboxyxfy103.1图113.1图aboxyxfy103.1图.0xf,0xfax;0af,axafaxxfy,,b,a'''右侧近的左侧附而且在点点的函数值都小附近其他它在点比的函数值点在函数以发现我们可两点为例以''',,0;0,.0yfxxbfbxbfbxbfxfx类似地函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大而且在点附近的左侧右侧aboxyxfy103.1图;xfyaf,xfya的叫做函数的极小值点叫做函数我们把点极小值;xfybf,xfyb的函数叫做的极大值点叫做函数点极大值.valueextreme.极小值统称极大值和称为极小值点、极大值点统极值点极值.,的是函数的局部性质刻画点附近的大小情况极值反映了函数在某一31144.3fxxx例求函数的极值3'2144,3422.fxxxfxxxx解因为所以.2x,2x,0xf'或得令:下面分两种情况讨论;2x,2x,0xf1'时或即当.2x2,0xf2'时即当:xf,xf,x'的变化情况如下表变化时当',222,222,0028433xfxfx单调递增单调递减单调递增;3282f,xf,2x,并且极大值为值有极大时当因此2,,42.3xfxf当时有极小值并且极小值为.123.14x4x31xf3所示的图象如图函数?极大值一定大于极小值吗?0点吗的点一定是函数的极值导数值为思考22oxy4x4x31xf3123.1图.,xfy0xfy,.xxf0x,xxf,0xf,0x,0x,00f.x3xf,xxf,.033''2'3而非充分条件件在这点取极值的必要条是函数在一点的导数值为函数一般地极值点不是函数所以是单调递增的即函数恒有还是于无论但由虽然我们有函数对于例如值点的点不一定是函数的极导数值为求可导函数的极大(小)值的步骤:①确定函数的定义域；②求导数;()fx④检查,方程＝0的根的左右两侧的符号，确定极值点.(最好通过列表法)()fx()fx③求方程()fx=0的根,这些根也称为可能极值点；强调:要想知道x0是极大值点还是极小值点就必须判断f(x0)=0左右侧导数的符号.(最好列表)''0''00,:0.0:10,0,;yfxfxfxxfxfxfx一般地求函数的极值的方法是解方程当时如果在附近的左侧右侧那么是极大值.xf,0xf,0xfx20''0是极小值那么右侧附近的左侧如果在解54333()3552.fxxxx练习：求函数的极值4322(1)()3693(1)(3)fxxxxxxx，令0)()2(xf1231,0,3.xxx得)3(x)1,(),3((1,0)13)(xf)(xf00000极大值极小值0(0,3)0054333()3552fxxxxMN图形如下)3(f极小值(4)(1),f极大值例2.（2001文）已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在点x=1处有极小值-1，试确定a、b的值，并求出f(x)的单调区间。分析：f(x)在x=1处有极小值-1，意味着f(1)=-1且f`(1)=0，故取点可求a、b的值，然后根据求函数单调区间的方法，求出单调区间。略解：单增区间为（-∞，-1/3）和（1，+∞）单间区间为（-1/3，1）1132'(1)1,(1)0fabf练习:已知函数在处取得极值。(1)讨论和是函数的极大值还是极小值；(2)过点作曲线的切线，求此切线方程。xbxaxxf3)(231x)1(f(1)f)(xf)16,0(A)(xfy解：323)()1(2bxaxxf0)1()1(ff依题意，.0323,0323baba0,1ba)1)(1(333)(,3)(23xxxxfxxxf则，令0)(xf1,1xx时，当),1()1,(x0)(xf时，当)1,1(x0)(xff(x)在上是增函数，)1,(),1(，)1,1(f(x)在上是减函数。所以，是极大值；是极小值。2)1(f2)1(f（2）曲线方程为，点不在曲线上.xxy33)16,0(A设切点为，则点M的坐标满足),(00yxM03003xxy因)1(3)(200xxf))(1(30200xxxyy故切线的方程为注意到点A（0，16）在切线上，有)0)(1(3)3(16020030xxxx830x20x即所以，切点为，)2,2(M0169yx切线方程为例3．设a为实数,函数3()3fxxxa(1)求()fx的极值;(2)当a为何值时,函数()yfx恰好有两个零点?［解］(1)令2()330fxx，得121,1xx.又因为(,1)x时，()0fx；(1,1)x时，()0fx；(1,)x，()0fx，所以()fx的极小值为(1)2fa；()fx的极大值为(1)2fa.(2)因为()fx在(,1)x上单调递减，且当x时，()fx；又()fx在(1,)x上单调递减，且当x时，()fx；而22aa，即函数的极大值大于极小值，所以当极大值大于或等于零时，有极小值小于或等于0，此时曲线()yfx与x轴恰好有两个交点，即函数()yfx恰好有两个零点，所以20,2aa；当极小值等于0时有极大值大于0，此时曲线与曲线()yfx与x轴也恰好有两个交点，即函数()yfx恰好有两个零点，所以20,2aa。综上所述知，当2a时，函数()yfx恰好有两个零点。思考：(2008年福建高考21)已知函数32()2fxxmxnx的图象过点（-1，-6），且函数()()6gxfxx的图象关于y轴对称.(Ⅰ)求m、n的值及函数y=f(x)的单调区间；(Ⅱ)若a＞0，求函数y=f(x)在区间（a-1,a+1）内的极值.解：（1）由函数f(x)图象过点（－1，－6），得m-n=-3,……①由f(x)=x3+mx2+nx-2，得f′（x）=3x2+2mx+n,则g(x)=f′(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n;而g(x)图象关于y轴对称，所以－3262m＝0，所以m=-3,代入①得n=0.于是f′(x)＝3x2-6x=3x(x-2).由f′(x)得x2或x0,故f(x)的单调递增区间是（－∞，0），（2，＋∞）；由f′(x)0得0x2,故f(x)的单调递减区间是（0，2）.(Ⅱ)由（Ⅰ）得f′(x)＝3x(x-2),令f′(x)＝0得x=0或x=2.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：X(-∞.0)0(0,2)2(2,+∞)f′(x)+0－0＋f(x)极大值极小值由此可得：当0a1时，f(x)在（a-1,a+1）内有极大值f(O)=-2,无极小值；当a=1时，f(x)在（a-1,a+1）内无极值；当1a3时，f(x)在（a-1,a+1）内有极小值f(2)＝－6，无极大值；当a≥3时，f(x)在（a-1,a+1）内无极值.综上得：当0a1时，f(x)有极大值－2，无极小值，当1a3时，f(x)有极小值－6，无极大值；当a=1或a≥3时，f(x)无极值.1、极值的概念与极值的判定方法2、可导函数的极值的求法.学习小结:注意点：1、f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件2、数形结合以及函数与方程思想的应用3、要想知道x0是极大值点还是极小值点就必须判断f(x0)=0左右侧导数的符号.