1[1].4.2-2正弦、余弦函数的性质--单,奇

1.4.2正弦、余弦函数的性质单调性、奇偶性、最值正、余弦函数图像特征：2oxy---11--13232656734233561126sin[0,2]yxx在函数的图象上，起关键作用的点有：sin,[0,2]yxx最高点：最低点：与x轴的交点：(0,0)(,0)(2,0))1,(23)1,2(注意：函数图像的凹凸性！知识回顾:-oxy---11--13232656734233561126cos[0,2]yxx在函数的图象上，起关键作用的点有：cos,[0,2]yxx最高点：最低点：与x轴的交点：(0,1)3(,0)2(2,1)(,1)(,0)2注意：函数图像的凹凸性！余弦函数图像特征：x6yo--12345-2-3-41y=sinx(xR)x6o--12345-2-3-41yy=cosx(xR)定义域值域周期性R[-1,1]T=2重要知识点一:定义域，值域，周期性一、正弦、余弦函数的定义域、值域、周期性y=sinxyxo--1234-2-31223252722325y=sinx(xR)图象关于原点对称重要知识点二:奇偶性sin(-x)=-sinx(xR)y=sinx(xR)x6yo--12345-2-3-41是奇函数x6o--12345-2-3-41ycos(-x)=cosx(xR)y=cosx(xR)是偶函数定义域关于原点对称二、正弦、余弦函数的奇偶性重要知识点二:奇偶性三、正弦函数的单调性y=sinx(xR)增区间为[，]其值从-1增至122xyo--1234-2-31223252722325xsinx2223…0………-1010-1减区间为[，]其值从1减至-1223[+2k,+2k],kZ22[+2k,+2k],kZ223重要知识点三:单调性三、余弦函数的单调性y=cosx(xR)xcosx22-……0……-1010-1减区间为，其值从1减至-1[2k,2k+],kZyxo--1234-2-31223252722325重要知识点三:单调性增区间为其值从-1增至1[+2k,+2k],kZ2单调性y=cosx在每一个闭区间[(2k-1)π,2kπ](k∈Z)上都是增函数,其值从-1增大到1；在每一个闭区间[2kπ，(2k+1)π](k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到-1.y=sinx在每一个闭区间[-+2kπ,+2kπ](k∈Z）上都是增函数，其值从-1增大到1；在每一个闭区间[+2kπ，+2kπ](k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到-1.22322重要知识点三:单调性x6o--12345-2-3-41y当且仅当）时，，（Zkkx22；1)(sinmaxx当且仅当）时，，（Zkkx22.1)(sinminx当且仅当）时，，（Zkkx2；1)(cosmaxx当且仅当）时，，（Zkkx2.1)(cosminx四、正弦、余弦函数的最值x6yo--12345-2-3-41)(sinRxxy)(cosRxxy重要知识点四:最值五、正弦、余弦函数的对称性x6yo--12345-2-3-41x6o--12345-2-3-41y)(sinRxxy)(cosRxxyy=sinx的图象对称轴为：y=sinx的图象对称中心为：y=cosx的图象对称轴为：y=cosx的图象对称中心为：；，Zkkx2.)0(Zkk，，；，Zkkx.)02(Zkk，，任意两相邻对称轴(或对称中心)的间距为半个周期；对称轴与其相邻的对称中心的间距为四分之一个周期.重要知识点五:对称性例3求下列函数的最大值和最小值，并写出取最大值、最小值时自变量x的集合（1）y=cosx＋1，x∈R；题型总结(二)---定义域、值域、最值的求法：1cos解(1)：x1,y02.max{x|x=2k,kZ}y当cosx=1,即时，=2.min{x|x=(2k+1),kZ}y当cosx=-1,即时，=0.0cosx+12.例3求下列函数的最大值和最小值，并写出取最大值、最小值时自变量x的集合（2）y=－3sin2x，x∈R.题型总结(二)---定义域、值域、最值的求法：1sin2解(2)：x1,333sin2x.33y.max{x|2x=-+2k,kZ}y2当sin2x=-1,即时，=3.max{x|x=-+k,kZ}y4即时，=3.min{x|2x=+2k,kZ}y2当sin2x=1,即时，=-3.min{x|x=+k,kZ}y4即时，=-3.例、求函数的值域.2cos2sin2yxx2cos2sin2yxx解：2)1(sinx又∵-1≤sinx≤1∴原函数的值域为：[-4,0]2sin2sin1xx∴当sinx=1时，y有最大值0∴当sinx=-1时，y有最小值-4题型总结(二)---定义域、值域、最值的求法：变题：已知函数（a为常数，且a＜0），求该函数的最小值.21sinsin2yxax2min120;42aay即时，min12.2aya即时，21sinsin2yxax解：22a1sin242ax（）1sin1x2mina11,sin.2242aaxy若0-则时，mina11,sin1.22xya若-则时，1cos2yx（）max(1){x|,}1.xkkZy当时，(2)sin()14yx练习:求下列函数的最值，并找出取最值时的x的集合max(2){x|2,}2.4xkkZy当时，min{x|,}1.2xkkZy当时，min5{x|2,}0.4xkkZy当时，练习:求下列函数的最值，并求出取最值时的x的集合(3)||sinyaxb(4)sinyaxbmax(3){x|2,}.2xkkZyab当时，min{x|2,}.2xkkZyab当时，max0,{x|2,}.2axkkZyab若当时，min{x|2,}.2xkkZyab当时，max(4)0,{x|2,}.2axkkZyab若当时，min{x|2,}.2xkkZyab当时，练习:求下列函数的最值，并求出取最值时的x的集合2(5)2cos5sin4yxx2(5)2sin5sin2yxx解：2592(sin)48xmax{x|2,}1.2xkkZy当时，1sin1xmin{x|2,}9.2xkkZy当时，题型总结(二)---三角函数值域、最值的求法：（1）化为一个角的三角函数形式。利用|sinx|≤1,|cosx|≤1求解。型如y=asinx+b(a≠0)或y=acosx+b(a≠0)（2）转化为二次函数形式。利用函数y=ax2+bx+c在闭区间[-1,1]上的最值求解。型如y=asin2x+bsinx+c(a≠0)或y=acos2x+bcosx+c(a≠0)1cosyx（）题型总结(二)---定义域、值域、最值的求法：例：求下列函数的定义域、值域(2)3sinyx解(1)：定义域：R.值域：[-1,1].(3)lgsinyx∴值域为解（2）：∵-3sinx≥0∴sinx≤0∴定义域为{x|π+2kπ≤x≤2π+2kπ,k∈Z}又∵-1≤sinx≤0∴0≤-3sinx≤3[0,3]题型总结(二)---定义域、值域、最值的求法：例：求下列函数的定义域、值域(3)lgsinyx∴值域为（－∞，0]解（3）：∵sinx0∴定义域为{x|2kπ≤x≤π+2kπ,k∈Z}又∵0sinx≤1∴-∞lgsinx≤0当cosx=1即x=2kπ(k∈Z)时,y取到最大值3.解：∵cosx≥0由0≤cosx≤102cos2.x例：求函数y=2+1的定义域、值域，并求当x为何值时，y取到最大值，最大值为多少？xcos∴函数定义域为[2,2],.22kkkZ∴函数值域为[1，3]12cos13.x题型总结(二)---定义域、值域、最值的求法：210182解（1）sin[,]22yx又在上是增函数，例4.利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：1sin()sin()1810（）与sin()sin()1810题型总结(三)---三角函数单调性的应用：例4.利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：题型总结(三)---三角函数单调性的应用：2317s()s()54（2）co与co23233(2)cos()coscos,555解1717cos()coscos,44430,45且函数y=cosx在[0,]上是减函数，3coscos45，1723coscos45即（（），练习：若△ABC是锐角三角形，试比较sinA与cosB的大小.若△ABC是钝角三角形，且∠C为钝角，则sinA与cosB的大小关系又如何？注：⑴三角形中角的认识、表示、转化；⑵三角函数单调性的应用..2ABCAB解：为锐角，,2ABsinsin()cos.2ABB由y=sinx的单调性，得,2ABCAB若为钝角，且C为钝角，则sinsin()cos.2ABB由y=sinx的单调性，得,2AB题型总结(三)---三角函数单调性的应用：比较三角函数值的大小的方法步骤（1）化为同名三角函数（2）化在同一单调区间上（3）利用单调性进行比较15sin()[2,2]23yxx例：求函数，的单调递增区间。1:,sin23xyz解令z=函数的单调递增区间是[2,2].22kk12x2,2232kk由54x4,k.33kkZ得A[2,2],设5A[,].33B易知15sin()[2,2]2333yxx则函数，的单调递增区间是[-,]。5{|4x4,k.}33BxkkZ题型总结(四)----单调性，单调区间的求法：1sin()[2,2]32yxx你能求函数，的单调递增区间吗？1:,sin32xyz解令z=函数的单调递减区间是3[2,2].22kk132x2,2322kk由74x4,k.33kkZ得A[2,2],设5A[2,][,2]33B易知1sin()[2,2]33253yxx则函数，的增[-2,-][,单调递区间2是]。7{|4x4,k.}33BxkkZ1sin()[2,2]32yxx你能求函数，的单调递增区间吗？1,sin23xyz令z=函数的单调递减区间是3[2,2].22kk132x2,2232kk由5114x4,k.33kkZ得A[2,2],设5A[2,][,2]33B易知1sin()[2,2]33253yxx则函数，的增[-2,-][,单调递区间2是]。511{|