1[1].4_生活中的优化问题举例.ppt2

1.4生活中的优化问题举例绍兴市稽山中学生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题。问题1:海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上下边各空2dm，左右空1dm,如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？x练习1：一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？则两个正方形面积和为2221)4()4(xlxssS)22(16122llxx解：设两段铁丝的长度分别为x,l-x,其中0xl，)2(81)24(161lxlxS2,0lxS得令由问题的实际意义可知：.,2取最小值时当Slx.322l最小值为问题2:饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗?某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子制造成本是0.8πr2分.其中r是瓶子的半径,单位是厘米.已知每出售1ml的饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制造的瓶子的最大半径为6cm.(1)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？(2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？练习2:在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长相等的正方形,再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底铁皮箱.箱底边长为多少时,箱子容积最大?最大容积是多少?xh解设箱底边长为x,则箱高为260xh箱子容积为)600()260()(2xxxxV由02360)(2xxxV解得x1=0(舍),x2=40.当x∈(0，40)时，V‘(x)0；当x∈(40，60)时，V'(x)0.∴函数V(x)在x=40处取得极大值，这个极大值就是函数V(x)的最大值.236040(40)40()216000()Vcm23()602Vxxxxh2.若函数f(x)在定义域内只有一个极值点x0，则不需与端点比较，f(x0)即是所求的最大值或最小值.说明1.设出变量找出函数关系式；(所说区间的也适用于开区间或无穷区间)确定出定义域；所得结果符合问题的实际意义练习3:某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确定它的高与底半径,使得所用材料最省?Rh解设圆柱的高为h,底面半径为R.则表面积为S(R)=2πRh+2πR2.又V=πR2h(定值),.2RVh则2222)(RRVRRS.222RRV.042)(2RRVRS由.23VR解得3222VRVh从而即h=2R.可以判断S(R)只有一个极值点,且是最小值点.答罐高与底的直径相等时,所用材料最省.问题3:如何使一个圆形磁盘储存更多信息?解:存储量=磁道数×每磁道的比特数.设存储区的半径介于r与R之间,由于磁道之间的宽度必须大于m,且最外面的磁道不存储任何信息,所以磁道数最多可达(R-r)/m。由于每条磁道上的比特数相同，为了获得最大的存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达到,nr2nrmrRrf2)(所以，磁道总存储量为：)(2rRrmn(1)它是一个关于r的二次函数，从函数的解析式可以判断，不是r越小，磁盘的存储量越大。)(22)(rRrmnnrmrRrf(2)∵2()(2)frRrmn0)(,2;0)(,2rfRr　　rfRr时当时当()0fr令mnR，Rr2,2,2最大存储量为磁盘具有最大存储量时当因此2Rr解得解决优化问题的方法之一：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有利的工具，其基本思路如以下流程图所示:方法小结优化问题用函数表示数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案建立数学模型解决数学模型作答