96数学归纳法练习题

数学归纳法练习一、选择题1.用数学归纳法证明“)12...(312))...(2)(1(nnnnnn”从k到1k左端需增乘的代数式为（）A．12kB．)12(2kC．112kkD．132kk2.凸n边形有()fn条对角线，则凸1n边形的对角线的条数(1)fn为（）高考资源网A．()1fnnB．()fnnC．()1fnnD．()2fnn3.已知111()()1231fnnnnnN，则(1)fk（）A．1()3(1)1fkkB．1()32fkkC．1111()3233341fkkkkkD．11()341fkkk4.如果命题()pn对nk成立，那么它对2nk也成立，又若()pn对2n成立，则下列结论正确的是（）高考资源网A．()pn对所有自然数n成立B．()pn对所有正偶数n成立C．()pn对所有正奇数n成立D．()pn对所有大于1的自然数n成立5.用数学归纳法证明，“当n为正奇数时，nnxy能被xy整除”时，第二步归纳假设应写成（）A．假设21()nkkN时正确，再推证23nk正确B．假设21()nkkN时正确，再推证21nk正确C．假设(1)nkkkN，≥的正确，再推证2nk正确D．假设(1)nkkkN，≤≥时正确，再推证2nk正确6.用数学归纳法证明不等式1111(1)2321nnnnN，且时，不等式在1nk时的形式是（）A．11111232kkB．1111111232121kkkC．111111112321221kkkkD．1111111111123212212221kkkkkk7.用数学归纳法证明412135()nnnN能被8整除时，当1nk时，对于4(1)12(1)135kk可变形为（）Ａ．41412156325(35)kkk·Ｂ．441223355kk··Ｃ．412135kkＤ．412125(35)kk8.用数学归纳法证明等式(3)(4)123(3)()2nnnnN时，第一步验证1n时，左边应取的项是（）Ａ．1Ｂ．12Ｃ．123Ｄ．12349．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2、a3、a4，猜想an＝()A.2(n＋1)2B.2n(n＋1)C.22n－1D.22n－110．对于不等式n2＋n≤n＋1(n∈N＋)，某学生的证明过程如下：(1)当n＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．(2)假设n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即k2＋kk＋1，则n＝k＋1时，(k＋1)2＋(k＋1)＝k2＋3k＋2(k2＋3k＋2)＋(k＋2)＝(k＋2)2＝(k＋1)＋1，∴当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法()A．过程全都正确B．n＝1验证不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确二、填空题11.观察下面的数阵,容易看出,第n行最右边的数是2n,那么第20行最左边的数是____________.123456789w.w.w.k.s.5.u.c.o.m10111213141516171819202122232425………………12.用数学归纳法证明不等式1111127124264n成立，起始值至少应取为．13．对任意n∈N*,34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝________.14.设21()61nfn，则(1)fk用含有()fk的式子表示为．三、解答题15.求证：121(1)nnaa能被21aa整除（其中nN）．16.用数学归纳法证明：(31)(1)(2)()()2nnnnnnnN．17.数列na的前n项和2nnSna，先计算数列的前4项，后猜想na并证明之．18.用数学归纳法证明：11112()23nnnN．答案一、选择题1.B2.C3.C4.B5.B6.D7.Ａ8.Ｄ9.B10.D二、填空题11.36212.813.514.36()35fk三、解答题15.证明：（1）当1n时，212(1)1aaaa能被21aa整除，即当1n时原命题成立．（2）假设()nkkN时，121(1)kkaa能被21aa整除．则当1nk时，2211221(1)(1)(1)kkkkaaaaaa121221(1)(1)(1)kkkaaaaaaa211212(1)11kkkaaaaaa．由归纳假设及21aa能被21aa整除可知，221(1)kkaa也能被21aa整除，即1nk命题也成立．根据（1）和（2）可知，对于任意的nN，原命题成立．16.证明：（1）当1n时，左边2，右边1(31)22左边，等式成立．（2）假设nk时等式成立，即(31)(1)(2)()2kkkkkk．则当1nk时，左边(2)(3)()(1)(2)kkkkkkkk[(1)(2)()]32kkkkk(31)323kkk2374(1)(34)22kkkk(1)[3(1)1]2kk，1nk时，等式成立．由（1）和（2）知对任意nN，等式成立．17.解析：由112aa，11a，由12222aaa，得232a．由123323aaaa，得374a．由1234424aaaaa，得4158a．猜想1212nnna．下面用数学归纳法证明猜想正确：（1）1n时，左边11a，右边11112121122nn，猜想成立．（2）假设当nk时，猜想成立，就是1212kkka，此时121222kkkkSkak．则当1nk时，由112(1)kkSka，得1112(1)2kkkSaka，11[2(1)]2kkakS11(1)11212112222kkkkkk．这就是说，当1nk时，等式也成立．由（1）（2）可知，1212nnna对nN均成立．18.证明：（1）当1n时，左边1，右边2，12，所以不等式成立．（2）假设nk时不等式成立，即1111223kk，则当1ak时，11111122311kkkk2(1)1112111kkkkkkk，即当1nk时，不等式也成立．由（1）、（2）可知，对于任意nN时，不等式成立．