96数学金融学第六章单时段投资消费问题1

长沙理工大学备课纸数学金融学第六章单时段投资消费问题第1页共34页第六章单时段投资消费问题在这一章中,我们讨论最优投资消费问题.为了讨论这一问题,首先需要引入所谓的效用函数.§6.1效用函数某样东西对其所有者的效用是指它给其所有者带来的某种满意程度.财富对于理性的人们而言总是多多益善,也就是说,财富越多,其所有者越满意.效用函数理论旨在研究这种满意程度.需要指出的是,不同的人对财富的贪婪程度是不同的,因此,财富的效用也是因人而异的.一、现代效用理论1.最大化期望回报准则如果市场上存在如下三种投资方式供投资者选择:第一种是投入10万元,一年后获得11万元;第二种是投资10万元，一年后获得12万元;第三种是投资10万元,一年后获得15万元的概率为2/3,获得9万元概率为1/3.此时对投资者来说,哪种投资方式最有吸引力?首先,在第一种和第二种投资方式之间的选择上,任何投资者将毫无疑问地选择第二种投资方式.但如何比较第二种和第三种投资方式呢?一种最简单的办法是比较它们之间的期望回报.若记第i种投资机会的回报为随机变量,1,2,3iXi,则由条件3321(15),(9)33PXPX(1.1)可知第三种投资方式的期望回报为:3211591333EX(1.2)而第二种投资方式的回报是212X,因此,如果以投资的期望回报作为投资优劣,则因32EXEX,投资者将选择第三种投资方式,我们称这种准则为最大化期望回报准则.最大化期望回报准则对投资者选择风险投资机会是一种简单明了的指导原则,但是,人们并不总是按照这一原则来指导投资的.下面著名的“圣彼得堡”悖沦很好地揭示了最大化期望回报准则的缺陷.2.财富的效用及其效用函数18世纪瑞士数学家尼古拉·贝努里提出了这样一个问题.甲乙两人约定好做游戏,游戏规则为,甲抛硬币,一旦出现正面,甲立即付报酬给乙,并结束游戏.若在第1次抛硬币时就出现正面,则甲付给乙1元钱;若在第2次抛硬币时才首次出现正面.则甲付给乙2元钱;以此类推,若在第n次抛硬币时才首次出现正面,则甲付给乙12n元.现在的问题是:乙为了获得参与这个游戏的机会,应事先付给甲多少钱?如果乙把参与这个游戏看作是一次投资机会的话,我们可以来计算这种投资机会的期望回报.易知,到第n次抛硬币时才首次出现正面的概率为2n从而期望回报为1122nnn.这样,按照最大化期望回报准则,乙为了获得参与这个游戏的机会,他会愿意支付任意多的钱.但实际上,几乎不会有这样的人会为了参与这样的游戏而支付即使是并不太多的钱(比如200元)对一群学生所进行的调查表明,大部分人只准备付2至3元钱.这说明,最大期望报酬准则并不能通用于非确定性的投资决策情形.下面引出财富的效用概念及其效用函数.定义1.1拥有的财富所产生的令人满意程度称为财富的效用.贝努里认为,人们关心的是财富的效用(即拥有的财富所产生的令人满意程度)而并非财富长沙理工大学备课纸数学金融学第六章单时段投资消费问题第2页共34页本身的价值.容易知道对于一个富翁来讲,增加1个单位的财富对他所能产生的满意程度的增加量是微乎其微的,而对于一个贫穷的人而言,增加l个单位的财富对他所能产生的满意程度的增加量相对是巨大的.于是引出以下边际效用递减原理.边际效用递减原理:同样1个单位的财富其效用的大小依赖于已有的财富,已有的财富越多,该个单位财富的效用就越小.假定用ux表示财富带来的效用函数,根据边际效用递减原理则有212211()()()()()()uxuxuxxuxuxxuxxx(1.3)若假定函数u光滑,我们称ux为投资者的财富额为x时的边际效用,且有'()0,()0,[0,)uxuxx(1.4)上面的第一式表明人们是理性的,即财富多多益善;而第二式则表明边际效用递减,当(1.4)中的第二式成立时,我们可以证明必成立下式:((1))()(1)(),,[0,),[0,1]uxyuxuyxy(1.5)满足(1.5)的函数称为是一个凹函数.当(1.5)中成立严格不等式时,称u为一个严格凹函数.如果(1.5)中的不等号反向,则称u是一个凸函数;而当们(1.5)中成立反过来的严格不等号时,称u是一个严格凸函数.以后我们称严格单调上升的凹函数:,uR为一个效用函数,此时还称ux为边际效用函数.注意:为了以后的方便,我们没有要求效用函数是严格凹的;并且,我们需要对每个xR,ux有明确的意义(于是,在其值域中引人了可能的取值详见下面的例子).当年贝努里提出的效用函数呈如下形式：()log(),0xuxbxa(1.6)其中,0ab,为常数.我们称(1.6)为一个对数效用函数.此时,边际效用函数为'(),0buxxx(1.7)它关于x单调递减.现在我们用期望效用来解释“圣·彼得堡游戏”问题,取效用函数为(1.6),考察1121[()]log()()2nnnEuxba1111()log2()log22nnnnnbba2log(2)bua上式的意义是参与游戏所能获得收益的期望效用等于2元钱的效用.这也就是说,具有对数效用函数的投资者最多愿意付2元钱来参与游戏.另一位学者克拉默提出了类似的想法.他选择的效用函数为(),0uxxx(1.9)此时,期望效用为1112[()]2()122nnnEux(1.10)长沙理工大学备课纸数学金融学第六章单时段投资消费问题第3页共34页如果令0012/2uxx，可得2012/23x,即参与游戏时所能获得回报的期望效用约等于3元钱的效用.这样具有效用函数(1.9)的投资者将至多愿意付3元钱来获得参与游戏的资格.冯诺依曼和莫根斯坦证明了:如果决策者的决策行为符合一系列的一致性条件,则非确定性条件下的最优投资选择可由期望效用最优化原则给出.二、HARA效用函数1.HARA效用函数我们介绍两类常用的效用函数（均称为HARA效用函数）:(1)“幂函数”形式:对于0,1,定义,0(;),0xxuxx(1.11)对于(,0),定义,0(;),0xxuxx(1.12)而对于,0,定义(注意到:01limlnxx)ln,0(;),0xxuxx(1.13)(2)“指数函数”形式:对于,0,定义(;),xevxxR(1.14)而对于0,定义(;),vxxxR(1.15)容易验证,,u是严格单调上升和严格凹的,而,v是严格单调上升的.且当0时，它是严格凹的.由于,u和,v总是严格单调增加的,故它们存在逆函数,分别记作1,u和1,v.我们有:对0,1,11(),0(;),0yyuyy(1.16)对于,11(),0(;),0yyuyy(1.17)而对于0,1(;),yuyeyR(1.18)另一方面,对于,0,长沙理工大学备课纸数学金融学第六章单时段投资消费问题第4页共34页11ln(),0(;),0yyvyy(1.19)而对于0，1(;),vyyyR(1.20)2.随机变量的HARA效用函数的期望效益分析现在,让我们看一看下面的事实.假定0X为一个有界的随机变量,则利用Taylor展开,可以得到(假定0,并且很靠近0)1111ln([(;)];)([])([])([])XXuEuXEEXEe121([1ln(ln)])2EXX22111([ln][ln])2EXEX222211([ln][ln])22EXEX2211[ln][ln]([ln])22EXEXEX211(1[ln])var[ln]222EXX(1.21)21211([(;);])ln[]ln(1[][])2XvEvXEeEXEX2222211([][]{[][]})222EXEXEXEX[]var[]2EXX(1.22)有趣的是对于充分靠近0的0,极大化(1.22),差不多等同于极大化EX,并且兼顾极小化varX,也就是说极大化回报、兼顾极小化风险.同样,极大化(1.21),差不多等同于极大化lnEX,并且兼顾极小化varlnX,也就是说极大化回报、兼顾极小化风险.这差不多是上一章末尾所讨论的风险与回报的问题.上面的分析粗略地表明,风险与回报问题可以近似地化为效用函数的最优化问题.三、投资者的风险偏好及其效用函数一般而言,不同的人对某种财富拥有量的满意程度是不同的,即不同的人有不同的效用函数,这恰好也反映了不同的人们最财富的“贪婪”程度.另一方面,由于收益和回报是紧密联系在一起的,高回报一般总伴随高风险,因此,效用函数也可以用来刻画人们对风险的“厌恶程度”.直观地想象,对财富比较“贪婪”的理性的人们比较愿意多冒一些风险(既“贪”财又不想冒风险的人们是不理性的).1.风险厌恶型的投资的效用函数长沙理工大学备课纸数学金融学第六章单时段投资消费问题第5页共34页现在,我们来具体看一下.假定某人面临一个未定的权益X(它是一个随机变量),假如此人对风险是非常厌恶的，则他宁愿事先支付一笔钱(称为保险金,riskpremium),使得届时的损益变成一个确定性的量EX.假定此人的效用函数为u,则支付保险金以后的净损益相应的效用为uEX;如果不支付保险金,则届时的损益带来的效用为uX,它的期望效益为EuX.所以,该当事人希望通过支付保险金使得[()]()EuXuEX(1.23)由于uEX关于是单调下降的,因此,此人为了保持期望效用EuX愿意支付的最大保险金应该满足下面关系：[()]()EuXuEX(1.24)利用Taylor展开,我们可得:1'2000000()()()()((1))()uxuxuxxxuxxdxx'2200000001()()()()()(,)()2uxuxxxuxxxrxxxx(1.25)此处，10000(,)[((1))()]rxxuxxuxd(1.26)从而，10000(,)((1))()rxxuxxuxd10001((1))()2xxdxx(1.27)其中,是u的连续模.于是,取xX和0xEX可得'21[()]{()()()()()2EuXEuEXuEXXEXuEXXEX2(,)()}rXEXXEX21()()[][(,)()]2uEXuEXvaxXErXEXXEX(1.28)另一方面,1'20()()()((1))uEXuEXuEXuEXd(1.29)因此,利用(1.24),我们得到12''0var[]()()[]((1))2()()XuEXXuEXduEXuEX2'(,)[()]()rXEXEXEXuEX(1.30)容易知道,varX越小,表明X的确定性程度越高,自然人们愿意支付的保险金X就越小,这长沙理工大学备课纸数学金融学第六章单时段投资消费问题第6页共34页一点在直观上是显然的,即有var[]0lim()0XX(1.31)进一步,从(1.30)可得：'var[]0()1()limvar[]2()XXuEXXuEX(1.32)现在，对任何效用函数u,我们定义,uxRxxRux(1.33)它称