勾股定理的逆定理(一)

1.直角三角形有哪些性质?（1）有一个角是直角；（2）两个锐角互余；（3）两直角边的平方和等于斜边的平方；（4）在含30°角的直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半2.一个三角形，满足什么条件是直角三角形？有一个内角是90°,那么这个三角形就为直角三角形。如果一个三角形中，有两个角的和是90°，那么这个三角形也是直角三角形。我们是否可以不用角,而用三角形三边的关系来判断是否为直角三角形呢?据说,古埃及人曾用下面的方法画直角：他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形,其直角在第4个结处。这个问题意味着:如果围成的三角形的三边分别为3、4、5．满足关系:32＋42＝52．那么围成的三角形是直角三角形．做一做1、如果三角形的三边分别是2.5cm，6cm，6.5cm，有下列的系：.那么画出的三角形是直角三角形吗?2、换成三边分别是4cm，7.5cm,8.5cm呢?2225.665.2如果三角形的三边长a，b，c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.•猜想：如果三角形的三边长a，b，c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.•猜想：已知:如图，在△ABC中,AC2+BC2=AB2.求证:△ABC是直角三角形.acbABC证明：作Rt△A′B′C′使∠C′=900，A′C′=AC，B′C′=BC(如图)，则已知:如图(1),在△ABC中,AC2+BC2=AB2.求证:△ABC是直角三角形.acbABC(1)acbB′A′C′(2)A′C′2+B′C′2=A′B′2(勾股定理).∵AC2+BC2=AB2(已知),A′C′=AC，B′C′=BC(作图),∴AB2=A′B′2∴AB=A′B′∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).∴∠C=∠C′＝900(全等三角形的对应边).∴△ABC是直角三角形(直角三角形意义).我能行梳理知识如果三角形两边的平方和等于第三边平方,那么这个三角形是直角三角形.这是判定直角三角形的根据之一.∵在△ABC中，AC2+BC2=AB2(已知),∴△ABC是直角三角形(如果三角形两边的平方和等于第三边平方,那么这个三角形是直角三角形).acbABC(1)你能用语言来叙述一下刚才证明的定理吗？勾股定理的逆定理分析：根据勾股定理的逆定理,判断一个三角形是不是直角三角形,只要看两条较少边长的平方和是否等于最大边长的平方.例1：判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形?(1)a=15，b=17，c=8;(2)a=13，b=15，c=14解:(1)最大边为17∵152+82=225+64=289172=289∴152+82=172∴以15,8,17为边长的三角形是直角三角形(2)最大边为15∵132+142=169+196=365152=225∴132+142≠152∴以13,15,14为边长的三角形不是直角三角形像15,17,8,能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？(1)a=25b=20c=15_________;(2)a=13b=14c=15_________;(4)a:b:c=3:4:5__________;是是不是是∠A=900∠B=900∠C=900(3)a=1b=2c=_________;3例2已知：如图,四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13求四边形ABCD的面积ABCD学以致用21212121解：连接AC，在Rt△ABC中，AC2=AB2＋BC2=32＋42=25，∴AC=5.∴在△ACD中，AC2＋CD2=25＋122=169，而AB2=132=169，∴AC2＋CD2=AB2，∴∠ACD=90°．∴S四边形ABCD=S△ABC＋S△ACD=AB·BC＋AC·CD=×3×4＋×5×12.=6＋30=36如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长c，那么a2+b2=c2•命题1：如果三角形的三边长a，b，c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.•命题2：对在这两个命题中,题设和结论正好相反，我们把这样的两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题.办温顾而知新观察上面两个命题,它们的题设与结论之间有怎样的关系?与同伴交流.(1)两条直线平行，内错角相等．(2)如果两个实数相等，那么它们的立方相等．(3)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．(4)全等三角形的对应角相等．(5)对顶角相等练:说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗?逆命题:内错角相等，两条直线平行.成立逆命题:如果两个实数的立方相等，那么这两个实数相等.成立逆命题:如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等.不成立逆命题:对应角相等的两个三角形是全等三角形.不成立逆命题:相等的两个角是对顶角.不成立感悟:原命题成立时,逆命题有时成立,有时不成立如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长c，那么a2+b2=c2•勾股定理:如果三角形的三边长a，b，c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.•勾股定理的逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理.想一想:互逆命题与互逆定理有何关系?回味无穷•勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理（pythagorastheorem）.•勾股定理的逆定理:如果三角形两边的平方和等于第三边平方,那么这个三角形是直角三角形.•命题与逆命题在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题.•定理与逆定理如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理.小结拓展练习3：1、小蒋要求△ABC的的最长边上的高，测得AB=8cm，AC=6cm，BC=10cm。则可知最长边上的高_______4.8cm2.满足下列条件的△ABC,不是直角三角形的是()A.b2=a2-c2B.a:b:c=3:4:5C.∠C=∠A-∠BD.∠A:∠B:∠C=3:4:5D3.在下列长度的各组线段中,能组成直角三角形的是()A.5,6,7B.32,42,52C.5,11,12D.5,12,13D4.若一个三角形的三边长分别为:32,42,x2,则此三角形是直角三角形的x2的值是_____________5.求证：m2－n2，m2＋n2，2mn(m＞n，m，n是正整数)是直角三角形的三条边长。)(,2)(22则此三角形是满足条件、、三角形三边长abcbacbaA、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、等边三角形△ABC三边a,b,c为边向外作正方形，正三角形，以三边为直径作半圆，若S1+S2=S3成立，则是直角三角形吗？ACabcS1S2S3BABCabcS1S2S3一个零件的形状如下图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量出了这个零件各边尺寸，那么这个零件符合要求吗?此时四边形ABCD的面积是多少?6.已知a，b，c为△ABC的三边,且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状.2、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数,得到的三角形是()A.钝角三角形;B.锐角三角形;C.直角三角形;D.等腰三角形.3、已知一个三角形的三边长分别是12cm，16cm，20cm，你能计算出这个三角形的面积吗？1、在ΔABC中,若AB2+BC2=AC2,则∠A+∠C=°.练一练练一练4.如果三条线段长a、b、c满足c2=a2-b2，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？5.A、B、C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C地在B地的什么方向？CAB13km12km5km是正北方向6.三角形的三边长分别为a2＋b2、2ab、a2－b2（a、b都是正整数），则这个三角形是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．不能确定例1“荡秋千”•平地秋千未起，•踏板一尺离地，•送行二尺与人齐，•五尺人高曾记。•仕女佳人争蹴，•终朝笑语欢嬉•良士高士素好奇，•算出索长有几？——明朝程大位著作《直指算法统宗》例2:“印度荷花问题”•湖静浪平六月天•荷花半尺出水面•忽来一阵狂风急•湖面之上不复见•入秋渔翁始发现•残花离根二尺遥•试问水深有几许？——印度数学家拜斯迦罗（公元1114——1185年）例3“执竿进屋”•笨人持竿要进屋，无奈门框拦住竹。•横多四尺竖多二，没法急得放声哭。•有个邻居聪明者，教他斜竿对两角。•笨伯依言试一试，不多不少刚抵足。•借问竿长多少数，谁人算出我佩服。•……——当代数学教育家、清华大学教授许莼舫著作《古算题味》chunfang