2018高考数学异构异模复习第三章导数及其应用3.2.2函数的极值与最值课件理

第三章导数及其应用第2讲导数的应用考点二函数的极值与最值撬点·基础点重难点1判断函数极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，(1)如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么f(x0)是；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么f(x0)是．2求可导函数f(x)的极值的步骤(1)求导函数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)检验f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧的函数值的符号，如果，那么函数y＝f(x)在这个根处取得极大值；如果，那么函数y＝f(x)在这个根处取得极小值，可列表完成．3函数的最值在闭区间[a，b]上的连续函数y＝f(x)，在[a，b]上必有最大值与最小值．在区间(a，b)上的连续函数y＝f(x)，若有唯一的极值点，则这个极值点就是最值点．极大值极小值左正右负左负右正注意点极值点的含义及极值与最值的关系(1)“极值点”不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值，则x1即为极大值点，极大值为f(x1)；在x2处取得极小值，则x2为极小值点，极小值为f(x2)．(2)极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值.1．思维辨析(1)导数为零的点不一定是极值点．()(2)三次函数在R上必有极大值和极小值．()(3)函数的极大值不一定比极小值大．()(4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．()(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．()(6)函数f(x)＝xsinx有无数个极值点．()×√√×√√2．函数y＝x4－4x＋3在区间[－2,3]上的最小值为()A．72B．36C．12D．0解析因为y′＝4x3－4，令y′＝0即4x3－4＝0，解得x＝1.当x1时，y′0，当x1时，y′0，所以函数的极小值为y|x＝1＝0，而在端点处的函数值y|x＝－2＝27，y|x＝3＝72，所以ymin＝0.3．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为()A．1，－3B．1,3C．－1,3D．－1，－3解析∵f′(x)＝3ax2＋b，∴f′(1)＝3a＋b＝0.①又当x＝1时有极值－2，∴a＋b＝－2.②联立①②解得a＝1，b＝－3.撬法·命题法解题法[考法综述]函数的极值与最值是高考热点内容，对极值的考查主要有2个命题角度：①判断极值的情况，②已知函数求极值．考查函数最值时必定涉及函数的单调性，还会涉及方程和不等式．题型有大题也有小题且有一定难度．另外已知函数的极值(最值)情况求参数的取值范围也是热点考查内容，涉及函数的单调性时，往往需要进行分类讨论，这类题综合性强，难度较大．命题法求函数的极值与最值典例设a∈R，函数f(x)＝x2e1－x－a(x－1)．(1)当a＝1时，求f(x)在34，2内的极大值；(2)设函数g(x)＝f(x)＋a(x－1－e1－x)，当g(x)有两个极值点x1，x2(x1x2)时，总有x2g(x1)≤λf′(x1)，求实数λ的值．(其中f′(x)是f(x)的导函数)．[解](1)当a＝1时，f(x)＝x2e1－x－(x－1)，则f′(x)＝(2x－x2)e1－x－1＝2x－x2－ex－1ex－1，令h(x)＝(2x－x2)－ex－1，则h′(x)＝2－2x－ex－1，显然h′(x)在34，2内是减函数，又h′34＝12－14e0，故x∈34，2时，总有h′(x)0，所以h(x)在34，2内是减函数．又h(1)＝0，所以当x∈34，1时，h(x)0，从而f′(x)0，这时f(x)单调递增，当x∈(1,2)时，h(x)0，从而f′(x)0，这时f(x)单调递减，所以f(x)在34，2内的极大值是f(1)＝1.(2)由题可知g(x)＝(x2－a)e1－x，则g′(x)＝(2x－x2＋a)e1－x＝(－x2＋2x＋a)e1－x.根据题意，方程－x2＋2x＋a＝0有两个不同的实根x1，x2(x1x2)，所以Δ＝4＋4a0，即a－1，且x1＋x2＝2，因为x1x2，所以x11.由x2g(x1)≤λf′(x1)，其中f′(x)＝(2x－x2)e1－x－a，可得(2－x1)(x21－a)e1－x1≤λ[(2x1－x21)e1－x1－a]，注意到－x21＋2x1＋a＝0，所以上式化为(2－x1)(2x1)e1－x1≤λ[(2x1－x21)e1－x1＋(2x1－x21)]，即不等式x1[2e1－x1－λ(e1－x1＋1)]≤0对任意的x1∈(－∞，1)恒成立．①当x1＝0时，不等式x1[2e1－x1－λ(e1－x1＋1)]≤0恒成立，λ∈R；②当x1∈(0,1)时，2e1－x1－λ(e1－x1＋1)≤0恒成立，即λ≥2e1－x1e1－x1＋1，令函数k(x)＝2e1－xe1－x＋1＝2－2e1－x＋1，显然，k(x)是R上的减函数，所以当x∈(0,1)时，k(x)k(0)＝2ee＋1，所以λ≥2ee＋1；③当x1∈(－∞，0)时，2e1－x1－λ(e1－x1＋1)≥0恒成立，即λ≤2e1－x1e1－x1＋1，由②，当x∈(－∞，0)时，k(x)k(0)＝2ee＋1，所以λ≤2ee＋1.综上所述，λ＝2ee＋1.【解题法】求函数极值和最值的方法(1)求函数的极值应先确定函数的定义域，再解方程f′(x)＝0，再判断f′(x)＝0的根是否是极值点，可通过列表结合导函数与0的大小(或函数的单调性)进行分析，若遇极值点含参数不能比较大小时，则需分类讨论．(2)函数的最大值①若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值．②若函数在闭区间[a，b]内有极值，要先求出[a，b]上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．③函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．