(新课程)高中数学《复数代数形式的加、减运算及其几何意义》新人教A版选修-

3．2复数代数形式的四则运算3．2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义【课标要求】1．熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则．2．理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．【核心扫描】1．复数加减运算的几何意义．(重点)2．本节内容与平面向量的联系．(难点)自学导引1．复数加减法的运算法则及加法运算律(1)加减法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1＋z2＝，z1－z2＝.(2)加法运算律对任意z1，z2，z3∈C，①交换律：z1＋z2＝.②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．(a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)iz2＋z1想一想：若复数z1，z2满足z1－z20，能否认为z1z2?提示不能，如2＋i－i0，但2＋i与i不能比较大小．2．复数加减法的几何意义如图：设复数z1，z2对应向量分别为OZ1→，OZ2→，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是OZ→与z1－z2对应的向量是Z2Z1→.想一想：从复数减法的几何意义理解：|z1－z2|表示什么？提示表示Z1与Z2两点间的距离．名师点睛1．理解用向量法确定两个复数的和先画出与这个复数对应的向量OZ1→，OZ2→.设OZ1→及OZ2→分别与复数a＋bi，c＋di对应，且OZ1→，OZ2→不共线(如右图)，以OZ1→及OZ2→为两条邻边作平行四边形OZ1ZZ2，作x轴的垂线PZ1，QZ2及RZ，并且作Z1S⊥RZ.容易证明△ZZ1S≌△Z2OQ，并且四边形Z1PRS是矩形，因此OR＝OP＋PR＝OP＋Z1S＝OP＋OQ＝a＋c，RZ＝RS＋SZ＝PZ1＋QZ2＝b＋d.于是，点Z的坐标是(a＋c，b＋d)，这说明OZ→就是复数(a＋c)＋(b＋d)i对应的向量．2．复数加减法的几何意义复数加法的几何意义：如果复数z1，z2分别对应复平面内的向量OP1→，OP2→，那么以OP1，OP2为两边作平行四边形OP1SP2，对角线OS表示的向量OS→就是z1＋z2的和所对应的向量．复数减法的几何意义：两个复数的差z1－z2与连接这两个向量终点并指向被减向量的向量对应．拓展：由复数加减法的几何意义可得如下结论：||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|.题型一复数的加减运算【例1】(1)z1＝2＋3i，z2＝－1＋2i.求z1＋z2，z1－z2.(2)计算：13＋12i＋(2－i)－43－32i.(3)计算：(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2008＋2009i)＋(2009－2010i)．[思路探索]掌握复数的加减运算法则，正确计算即可．解(1)z1＋z2＝2＋3i＋(－1＋2i)＝1＋5i，z1－z2＝2＋3i－(－1＋2i)＝3＋i.(2)13＋12i＋(2－i)－43－32i＝13＋2－43＋12－1＋32i＝1＋i.(3)法一(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2008＋2009i)＋(2009－2010i)＝[(1－2)＋(3－4)＋…＋(2007－2008)＋2009]＋[(－2＋3)＋(－4＋5)＋…＋(－2008＋2009)－2010]i＝(－1004＋2009)＋(1004－2010)i＝1005－1006i.法二(1－2i)＋(－2＋3i)＝－1＋i，(3－4i)＋(－4＋5i)＝－1＋i，…，(2007－2008i)＋(－2008＋2009i)＝－1＋i.相加(共有1004个式子)，得原式＝1004(－1＋i)＋(2009－2010i)＝(－1004＋2009)＋(1004－2010)i＝1005－1006i.规律方法(1)复数加减运算的方法．方法一：复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．方法二：把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项．(2)加法法则的合理性：①当b＝0，d＝0时，与实数加法法则一致．②加法交换律和结合律在复数集中仍成立．③符合向量加法的平行四边形法则．(3)复数的加减法可以推广到若干个复数，进行连加连减或混合运算．【变式1】计算：(1)(3＋5i)＋(3－4i)；(2)(－3＋2i)－(4－5i)；(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)．解(1)(3＋5i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i.(2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋[2－(－5)]i＝－7＋7i.(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝(5－2－3)＋[－6＋(－2)－3]i＝－11i.题型二复数加减法的几何意义【例2】已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2＋i，向量BA→对应的复数为1＋2i，向量BC→对应的复数为3－i，求：(1)点C，D对应的复数；(2)平行四边形ABCD的面积．[思路探索]解(1)∵向量BA→对应的复数为1＋2i，向量BC→对应的复数为3－i，∴向量AC→对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.又OC→＝OA→＋AC→，∴点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.∵AD→＝BC→，∴向量AD→对应的复数为3－i，即AD→＝(3，－1)．设D(x，y)，则AD→＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，∴x－2＝3，y－1＝－1，解得x＝5，y＝0，∴点D对应的复数为5.(2)∵BA→·BC→＝|BA→||BC→|cosB，∴cosB＝BA→·BC→|BA→||BC→|＝3－25×10＝152＝210.∴sinB＝752＝7210，∴S＝|BA→||BC→|sinB＝5×10×7210＝7，∴平行四边形ABCD的面积为7.规律方法(1)根据复数的两种几何意义知：复数的加减运算可以转化为点的坐标运算或向量运算．(2)复数及其加减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能．【变式2】(1)设OZ1→及OZ2→分别与复数z1＝5＋3i及复数z2＝4＋i对应，计算z1－z2，并在复平面内作出OZ1→－OZ2→.(2)设OZ1→及OZ2→分别与复数z1＝1＋3i及复数z2＝2＋i对应，计算z1＋z2，并在复平面内作出OZ1→＋OZ2→.解(1)z1－z2＝(5＋3i)－(4＋i)＝(5－4)＋(3－1)i＝1＋2i(如图①)(2)z1＋z2＝(1＋3i)＋(2＋i)＝(1＋2)＋(3＋1)i＝3＋4i.(如图②)题型三复数加减法几何意义的综合应用【例3】已知|z＋1－i|＝1，求|z－3＋4i|的最大值和最小值．审题指导利用复数加减法的几何意义，以及数形结合的思想解题．[规范解答]法一设w＝z－3＋4i，∴z＝w＋3－4i，∴z＋1－i＝w＋4－5i.又|z＋1－i|＝1，∴|w＋4－5i|＝1.(6分)可知w对应的点的轨迹是以(－4,5)为圆心，1为半径的圆．(8分)如图(1)所示，∴|w|max＝41＋1，|w|min＝41－1.(12分)法二由条件知复数z对应的点的轨迹是以(－1,1)为圆心，1为半径的圆，(4分)而|z－3＋4i|＝|z－(3－4i)|表示复数z对应的点到点(3，－4)的距离，(8分)在圆上与(3，－4)距离最大的点为A，距离最小的点为B，(10分)如图(2)所示，所以|z－3＋4i|max＝41＋1，|z－3＋4i|min＝41－1.(12分)【题后反思】|z1－z2|表示复平面内z1，z2对应的两点间的距离．利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解．【变式3】已知复数z满足|z＋2－2i|＝1，求|z－3－2i|的最大值与最小值．解由复数及其模的几何意义知：满足|z＋2－2i|＝1，即|z－(－2＋2i)|＝1.复数z所对应的点是以C(－2,2)为圆心，r＝1为半径的圆．而|z－3－2i|＝|z－(3＋2i)|的几何意义是：复数z对应的点与点A(3,2)的距离．由圆的知识可知|z－3－2i|的最小值为|AC|－r，最大值为|AC|＋r.∴|z－3－2i|min＝3＋22＋2－22－1＝4.|z－3－2i|max＝3＋22＋2－22＋1＝6.方法技巧数形结合思想在复数中的应用数与形是数学中两个最古老、也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化．数形结合，不仅是一种重要的解题方法，而且也是一种重要的思维方法．本章中有关复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数运算的几何意义．复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题．【示例】复平面内点A，B，C对应的复数分别为i,1,4＋2i，由A→B→C→D按逆时针顺序作▱ABCD，则|BD→|等于()．A．5B.13C.15D.17[思路分析]首先由A、C两点坐标求解出AC的中点坐标，然后再由点B的坐标求解出点D的坐标．解析如图，设D(x，y)，F为▱ABCD的对角线的交点，则点F的坐标为2，32，所以x＋1＝4，y＋0＝3，即x＝3，y＝3.所以点D对应的复数为z＝3＋3i，所以BD→＝OD→－OB→＝3＋3i－1＝2＋3i，所以BD→＝13.答案B方法点评解决此类问题的关键是由题意正确地画出图形，然后根据三角形法则或平行四边形法则借助复数相等即可求解．