精算方法在信用风险量化管理中的作用

精算方法在信用风险量化管理中的作用郑君摘要：本文介绍了信用风险及信用风险量化管理的作用和意义，提出运用精算方法解决信用风险量化问题，然后具体给出了量化信用风险的思路和精算统计量，并进行了讨论。关键词:在险价值，坏死力，坏死概率Abstract:Creditriskandvaluationofcreditriskareintroducedinthispaper,andthenactuarymethodisputforwardtosolvethisproblem.Theactuarymethodanditsstatisticsareexplainedindetailanddiscussed.Keywords:VAR，mortalityforce,mortalitypossibility一．概述（一）信用风险概述信用风险是指由于借款人或市场交易对方违约而导致的损失的可能性，以及由于借款人的信用评级的变动和履约能力的变化导致其债务的市场价值变动而引起的损失的可能性。市场经济活动最主要和最需管理的信用风险是资本市场信贷风险，如何有效管理信贷风险，在风险和收益间作出权衡和量化，是金融机构的主要任务之一。中国银行业面临入世的机遇和挑战，管理要和国际接轨，其中很重要的一项就是要达到8％的资本充足率要求。因此，可以预料，对信用风险管理的要求将越来越高。（二）风险资本量化含义和作用20世纪80年代初期，发达国家大银行在全球范围内迅速扩展业务，这引起了全世界普遍担心这些国际性银行的稳健性状况。国际清算银行下属的巴塞尔银行监督委员会综合研究了各种对这些国际性大银行规定资本标准的建议后，1988年6月十国集团达成了一项“资本协议”，又称“巴塞尔协议”，协议规定从1993年一月起对国际性银行实行统一的资本标准，此后此协议被全世界多数国家作为监管本国银行资本的参照标准。此标准规定，银行资本包括一级资本和二级资本，一级资本要占资本总额的50％。资本总额与风险资产总额之比不得低于8％，一级资本与风险资本总额之比不得低于4％。一级资本包括银行的普通股权和公开储备，二级资本则由次级资金组成，包括对外债权，永久债券，次级债务和长期债务。其中风险资本是用不同的风险权重和各表内表外资产乘机得出的在险价值（VAR）。二．建立精算模型（一）建立精算模型的必要性和可能性可以看到，巴塞尔协议的核心在于如何得出风险资本量。而巴塞尔协议的监管方法也存在一些缺陷，比如权重过于简单，没有考虑市场风险等。由于这些原因，近年来用内部模型而不是标准化的管制模式来测量在险价值VAR正逐渐受到推广和重视。1999年6月，巴塞尔银行监管委员会对1988年的“资本协议”进行了修改，其中重要的一条就是对于信用风险即在险价值的计算可以在符合严格监管规定的条件下，采用内部模型。近年来，先后出现了一些内部模型，比如J.P摩根公司的“信用度量术”，麦肯锡模型，KPMG贷款分析系统等。这些内部模型的出现，为信用风险的量化起了很大的推动作用。笔者认为，它们各有各自的优点和特色，但是共同的缺陷在于对外生变量的依赖比较多，模型过于模式化，参数有些僵硬。模型对特定的贷款组合或债券组合计算VAR时不能有效地根据情况和环境的不同而作出反映，敏感性较弱。因此，有必要提出建立一种对不同内部分析对象的比较实用灵活的信用风险量化模型。精算学是用来“处理未来有关财务金融不确定性”(英国精算师协会2003年定义)的学科，至今已有100多年的历史。精算学的主要思想和方法就是将未来不可预测的风险量化，从而为面临风险的服务对象提供决策建议和解决方案，凡是涉及到不确定性的财务金融问题都可以用精算学的思想加以分析和解决。这就为我们运用精算方法解决信用风险的量化问题提供了理论基础。精算学一个比较独特的优势就在于它对目标值的统计，推断和预测都是建立在过去自身的有效记录上的，因此运用它适合不同目标范围和对象的通用方法和思想，就可以产生我们所需要的特定结果。不同国家和地区的死亡表就时一个例子。同样，运用精算学的思想，也就不必给出适合所有不同银行的具有给定参数的信用风险内部模型，不同银行或风险管理机构可以运用本文提出的思想及时给出自身的量化后的信用风险。（二）运用精算思想建立内部模型1．计算贷款总金额VAR的思想考虑单笔贷款，期限为（Tx,nTx），即贷款总周期为n，定义tXtnTq为该贷款从时刻txT起n-t时刻内，即到期前坏死的概率，那么在txT时刻该笔贷款的在险价值VAR(m)为tXtnTqm，m为该笔贷款的数量。同样，对于和该笔贷款类似的大量贷款的总额M=m，同样有VAR(M)=mtXtnTq。通常，我们在年初估计VAR的值，这样，定义一个Xq1(t=0,n=1时的特例)，简记为Xq，表示在X年初，贷款m在未来一年内坏死的概率;xp=1－Xq（即Xq＝1－xp）表示在X年初，贷款m在未来一年内没有坏死的概率。那么，在险价值VAR(M)＝mXq1＝XqM。现在，问题的关键就是如何计算Xq的值？解决了这个问题，就确定了VAR的大小，也就量化了信用风险。2．Xq值的推导。Xq代表了某类贷款总额坏死的风险趋向，因此Xq必定是随时间X而改变的函数。由于M是大量m构成，这些m数量相当，但起始和终止时间不一，某一m坏死后，对所考虑的M影响很小，因此，M的变化可以看成是光滑的，可以用一个简要的图来表示M的变化。图1中，左侧代表M值的离散变化，右侧代表随着众多m的坏死将M的变化连续化，在x点，Ｍ的值为xM。那么，我们考虑的问题就是，在x时刻到x+1时刻，xM坏死，即xM（m）的值在一年后变为０的概率Xq。（1）定义坏死力xu对于贷款m,我们给出坏死力xu的定义：xu＝][1lim0xThxTphh(a)上式（ａ）中，T表示贷款在偿还前的非坏死状态下的剩余时间（“存活”状态），x表示当前时刻，由于M足够光滑，我们可以认为对于给定的x,(a)极限存在。那么，对于足够小的td,我们有txdqt＝txutd，即在短时间间隔内贷款坏死的概率等于在该时刻的坏死力乘以时间间隔。（2）推导坏死概率Xq由概率乘法公式，有xdtpt＝txdxtppt，即贷款从X时刻存活到t+dt时刻的概率等于分别从ｘ到x+t和从x+t到x+t+dt的概率的乘积。由于txdpt＝1－txdqt，我们得到：xdtpt＝txdxtppt＝xtp（1－txdqt）＝xtp（1－txutd）整理,有（xdtpt－xtp）/td=－txu*xtp令上式的左项td0，有xtpt＝－txu*xtp,即/xtptxtp=－txu两边对t积分，有Ln(xtp)=（－dsutsx0），即xtp＝exp{－dsutsx0}在我们考虑的时间段内（相比较贷款总周期较小的时段），例如t=1的时候，假定sxu的xxMXMM1xxM图1值不变，即在一年内为常数u，那么贷款坏死的概率就可以很方便的求出来，即：xq＝1－xp＝1－exp{－dsusx10}＝1－ue(b)即1－ue为贷款在一年内坏死的概率Xq，式中的u为坏死力常数。(3)估计坏死力常数u由（c）式可以看出，只要我们得到坏死力常数u的估计值u，就能算出坏死概率xq，以及贷款的在现价值VAR。因此，关键的步骤就在于u的计算。如何计算u呢？我们利用样本自身的观测值来计算u，这也是精算方法较为实用的原因。我们利用历史上样本M的极大似然估计量来估计u的值。具体方法如下。我们考虑比如由1000笔类似贷款m组成的贷款总额M（M/m=1000），然后在随后的一年内对这1000笔贷款进行有效的跟踪记录。如下图：如图，考虑贷款周期的第X－1到第X年内的贷款情况，总共有3种时间类型的贷款,,。类的贷款在时刻X－1年之前就进入了贷款周期的第X年，类贷款在X－1年和X年之间进入了贷款周期的第X年，类贷款刚好在第X－1年进入贷款周期的X年。我们从X－1年一直观察到X年，从中我们设计如下统计量：iax进入第X年后开始观察第i笔贷款时，第i笔贷款的贷款周期时刻；ibx对第i笔贷款观察必须结束时，第i笔贷款的贷款周期时刻（如果第i笔贷款存活到该时刻）iTx对第i笔贷款结束时第i笔贷款的贷款周期时刻。iiiaTV第i第贷款的观察期“等待时间”1xxt)(x)1(x)(x)1(x)(x图2)1(xiDiD＝0，当观察期内第i笔贷款没有发生坏死；iD＝1，观察期内贷款i发生坏死。由于观察期内贷款发生坏死是随机事件，以及存在着,,3种不同的贷款，因此根据观察期内实际观察到的结果我们得到不同的统计值。例如对于图2中类贷款，ia的值为虚线部分，ib的值为1；如果改贷款的iD＝0，则ib＝iT，如果iD＝1，则ibiT。同样，对于类贷款，ia的值为0，ib的值为虚线部分；如果改贷款的iD＝0，则ib＝iT，如果iD＝1，则ibiT。这样，对于X－1时刻到X时刻之间的一年内，我们得到了所有贷款的各个统计值ia，ib，iT，iV和iD。下面用这些统计值计算坏死力常数u的估计量u。我们采用极大似然估计量来作为u的估计量u。注意到向量(iD,iV)包含了一个统计量，也就是说我们的观察值),(iivd即是每笔贷款的iD，iV联合分布的一个样本值。定义),(iiivdg为),(iivd的联合分布函数，根据各个统计量的定义我们有：),(iiivdg＝)1()0(ivaxaxviaxabdupdpiiiiiii＝)1(exp)0(exp00ivaxvtaxiabtaxdudtuddtuiiiiiii＝iiiiidvaxvtaxudtu0exp-----------------（*）根据我们一年内坏死力为常数的假设，(*)式可以简化为iiduviiiuevdg,。对于所有（iD,iV）的联合分布函数，由于假设各贷款之间相互独立，我们有极大似然函数：NiiduvdddvvvuduvNiiiiiueueuevdgvduLNNii1..........12121,),;(其中，NiiiNiiivvdd11,这样我们得到了含有死力常数u的极大似然函数duvuevduL),;(对上式两边取对数有，uduvvdulln,;ln再对u求一阶导，有，udvvdulu),;(ln，令之为0，有u＝vd由于0,;ln222duvduu，所以u＝vd为u的极大似然估计量。进一步的讨论可以得知u也是u的无偏，一致估计量。现在，我们得到了坏死力常数的X－1年到X年的估计值u，由于M变化的连续性，我们可以把u作为在X时刻的坏死力估计值，进而得出X时刻贷款总额M的在险价值VAR=MeMquX1。综上所述，我们只要在确定的观察时间段内，详细记录下每笔断宽的观察值iiiiiDvTba,,,,，就能够利用以上估计量估计出坏死力u，坏死概率xq，以及在险价值VAR。这样，我们基本上从研究对象贷款总额的自身历史数据中，得出了贷款坏死的边际倾向。如果改变我们的观察周期，比如从1年变为半年，或者更短的时间短，我们同样可以运用该方法得得出对应的时间段的坏死力和坏死概率，从而得出不同时间段的在险价值。另外，我们可以保持样本容量的连续性，即保持被观察的贷款总数不变，得出历史上连续时间段的坏死力的观察值，从而得到一个时间序列，根据该时间序列进行分析和预测，对我们在X时刻采用的坏死力常数进行调整，以得到更加准确的估计值。我们还可以对历史上坏死贷款的实际值和估计的在险价值进行比较，以检验我们的预测值。可以看到，用精算方法量化信用风险的优势在于需要的外生变量少，统计值完全从自身历史数据得出，坏死概率和在险价值贴近真实被观测样本，整个过程实用简便，易于调整并适用于