西城区2020届高三一模数学试题及答案

西城区高三统一测试数学2020.4第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，复合题目要求的一项.1.设20,3xxxBxxA，或，则BA=（）A.)0,(B.)3,2(C.)0,()3,2(D.)3,(2.若复数)1)(3(iiz，则z=（）A.22B.52C.10D.203.下列函数中，值域为R且为奇函数的是（）A.2xyB.xysinC.3xxyD.xy24.设等差数列na的前n项和为nS，若5,2413aaa，则6S=（）A.10B.9C.8D.75.设)1,4(),1,2(BA，则以线段AB为直径的圆的方程是（）A.2)3(22yxB.8)3(22yxC.2)3(22yxD.8)3(22yx6.设cba,,为非零实数，且cbca,，则（）A.cbaB.2cabC.cba2D.cba2117.某四棱锥的三视图如图所示，记S为此棱锥所有棱的长度的集合，则A.SS3222，且B.SS3222，且C.SS3222，且D.SS3222，且8.设ba,为非零向量，则“baba”是“ba与共线”的（）A.充分二不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.已知函数xxxfsin21sin)(的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方程是（）①绕着x轴上一点旋转180°；②沿x轴正方向平移；③以x轴的某一条垂线为轴作轴对称.A.①③B.③④C.②③D.②④10.设函数0,lg0,110)(2xxxxxxf若关于x的方程)()(Raaxf有四个实数解)4,3,2,1(ixi，其中4321xxxx，则))((4321xxxx的取值范围是（）A.]101,0(B.]99,0(C.]100,0(D.),0(第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.在6)1(xx的展开式中，常数项为.（用数字作答）12.若向量),1(),2,(2xbxa满足3ba，则实数x的取值范围是.13.设双曲线)0(14222bbyx的一条渐近线方程为xy22，则该上去西安的离心率为.14.函数)42sin()(xxf的最小正周期为；若函数)(xf在区间),0(a上单调递增，则的最大值为.15.在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中：甲校男生乘积的优秀率为70%，女生成绩从优秀率为50%；乙校男生乘积的优秀率为60%，女生成绩的优秀率为40%，对于此次测试，给出下列三个结论：①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率；②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率；③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中，所有正确的序号是.三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分14分）如图，在四棱锥1111DCBAABCD中，1AA平面ABCD，底面ABCD满足22,21DCBDAAADABBCAD，且∥.（Ⅰ）求证：AB平面11AADD；（Ⅱ）求直线AB与平面11CDB所成角的正弦值.17.（本小题满分14分）已知ABC满足，且32,6Ab，求Csin的值及ABC的面积.从BaaBsin23,34③，②①这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18.（本小题满分14分）2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩（单位:分）统计结果用茎叶图记录如下：（Ⅰ）试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数；（Ⅱ）从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组（每组人数不少于5000），并在每组中随机选取m个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出m的最小值.（结论不要求证明）19.（本小题满分14分）设函数2()ln(2)fxaxxax，其中a∈R（Ⅰ）若曲线()yfx在点（2，(2)f）处切线的倾斜角为4，求a的值；（Ⅱ）已知导函数()fx在区间（1，e）上存在零点，证明:当x∈（1，e）时，2()fxe＞-20.（本小题满分15分）设椭圆22:12xEy，直线1l经过点M（m，0），直线2l经过点N（n，0），直线1l∥直线2l，且直线1l、2l分别与椭圆E相交于A，B两点和C，D两点。（Ⅰ）若M，N分别为椭圆E的左、右焦点，且直线1lx⊥轴，求四边形ABCD的面积；（Ⅱ）若直线1l的斜率存在且不为0，四边形ABCD为平行四边形，求证:m+n=0；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，判断四边形ABCD能否为矩形，说明理由。21.（本小题满分14分）对于正整数n，如果()kkN个整数a1，a2，…，ak满足1≤a1≤a2≤…≤ak≤n，且a1+a2+…+ak=n，则称数组（a1，a2，…，ak）为n的一个“正整数分拆”。记a1，a2，…，ak均为偶数的“正整数分拆”的个数为fn；a1，a2，…，ak均为奇数的“正整数分拆”的个数为gn。（Ⅰ）写出整数4的所有“正整数分拆”；（Ⅱ）对于给定的整数n（n≥4），设（a1，a2，…，ak）是n的一个“正整数分拆”，且a1=2，求k的最大值；（Ⅲ）对所有的正整数n，证明:fn≤gn；并求出使得等号成立的n的值。（注:对于n的两个“正整数分拆”（a1，a2，…，ak）与（b1，b2，…，bn），当且仅当k=m且a1=b1，a2=b2，…，ak=bm时，称这两个“正整数分拆”是相同的.）