数学归纳法精品教案

数学归纳法【教学目标】：1．牢固掌握数学归纳法的证明步骤，熟练表达数学归纳法证明过程。2．对数学归纳法的认识不断深化。【教学重点】证明整除性问题，证明与自然数n有关的几何问题。【教学难点】在P(k)P(k+1)递推时，找出n=k与n=k+1时的递推公式。【授课类型】新授课【课时安排】1课时【教学准备】多媒体、实物投影仪【内容分析】数学归纳法的应用是教学的重点，本节课着重是运用数学归纳法证明整除性问题，证明与自然数n有关的几何问题，在解析几何中主要是探索递推关系，教会学生思维，离开研究解答问题的思维过程几乎是不可能的。因此在日常教学中，尤其是解题教学中，必须把教学集中在问题解答或解答问题的整个过程上。理清思路是教学的重点。即递推关系的探索发现、创新等思维过程的暴露，知识形成过程的揭示为教学重点。用数学归纳法证明整除问题，P(k)P(k+1)的整式变形是个难点，找出它们之间的差异，从决定n=k时，P(k)做何种变形，一般地只有将n=k+1时P(k+1)的整式进行分拆配凑成P(k)的形式，再利用归纳假设和基本事实。这个变形是难点。用数学归纳法证明几何中的问题时，难点就是在P(k)P(k+1)递推时，找出n=k与n=k+1时的递推公式，这是关键所在。要分析增加一条曲线或直线后，点、线段、曲线段、平面块在P(k)基础上净增多少，于是就找出了相应的递推关系【教学过程】一、复习引入：1．归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法。特点：特殊→一般2．不完全归纳法：根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法。3．完全归纳法：把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法。完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法。与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的。通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法。4．数学归纳法：对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(kN*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法5．数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n=n0时，命题成立，再假设当n=k(k≥n0，k∈N*)时，命题成立。(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立。6．用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：（1）证明：当n取第一个值n0结论正确；（2）假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确。由（1），（2）可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确　递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。二、讲解范例：例1用数学归纳法证明：x2n－y2n()能被x+y整除*nN证明：（1）当n=1时，x2n－y2n=x2－y2=(x－y)(x+y)所以(x－y)(x+y)能被x+y整除。故n=1时命题成立。（2）假设n=k时x2k－y2k能被x+y整除，(利用添项去项将x2k+2－y2k+2配成x2k－y2k的形式，再用归纳假设)因为x2k+2－y2k+2=x2·x2k－y2·y2k=x2(x2k－y2k)+x2·y2k－y2·y2k=x2(x2k－y2k)+y2k(x2－y2)由假设x2k－y2k能被x+y整除，而x2－y2也能被x+y整除。故x2k+2－y2k+2能被x+y整除，即n=k+1时也成立。由（1）、（2）知命题对一切正整数都成立。例2用数学归纳法证明：对于任意自然数n，数11n+2+122n+1是133的倍数。证明：（1）当n=0时，11n+2+122n+1=112+121=121+12=133．故n=0时命题成立。（2）假设当n=k时命题成立，即11k+2+122k+1能被133整除。∴n=k+1时，11(k+1)+2+122(k+1)+1=11·11k+2+122·122k+1=11·(11k+2+122k+1)+122·122k+1－11×122k+1=11·(11k+2+122k+1)+122k+1(144－11)=11·(11k+2+122k+1)+122k+1·133由归纳假设知11k+2+122k+1及133都能被133整除。∴11(k+1)+2+122(k+1)+1能被133整除，即n=k+1时命题也成立。根据（1）（2）可知。命题对一切自然数都成立。说明：第一步的初始值，可能会：当n=1时，11n+2+122n+1=113+123=(11+12)(112－11×12+122)=23×(121+144－132)=23×133．　∴23×133能被133整除。即n=1时命题成立。。因为自然数中包括0，所以第一步应验证n=0，而不是n=1．本题第一步若证明n=1时命题成立，一者计算量较大，二者也不符合自然数集的新定义。　证n=0，既方便减少计算量又科学更严密。一般情况，有时为了简化计算常将证明n=1改证n=0或n=－1，这种技巧称之“提前起点”，提前起点的前提是n为整数，否则递推无法进行。另外，利用数学归纳法证明整除问题，由归纳假设P(k)能被p整除，证P(k+1)能被p整除，也可运用结论：“P(k+1)－P(k)能被p整除P(k+1)能被p整除。”例3平面内有n(n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明交点的个数为f(n)=。2)1(nn证明：（1）当n=2时，两条直线的交点只有一个，又f（2）=×2×(2－1)=1，21因此，当n=2时，命题成立。（2）假设当n=k(k≥2)时命题成立，就是说，平面内满足题设的任何k条直线的交点的个数f(k)等于k(k－1)。现在来考虑平面内有k+1条直线的情况。任取其中的一条直线，21记为l。(如例3图所示)。由上述归纳法的假设，除l以外的其他k条直线的交点个例3图数为f(k)=k(k－1)。21另外，因为已知任何两条直线不平行，所以直线l必与平面内其他k条直线都相交(有k个交点)；又因为已知任何三条直线不过同一点，所以上面的k个交点两两不相同，且与平面内其他的k·(k－1)个交点也两两不相同，从而平面内交点的个数是k(k－1)+k=k［(k212121－1)+2］=(k+1)［(k+1)－1］。21这就是说，当n=k+1时，k+1条直线的交点个数为f(k+1)=(k+1)［(k+1)－1］。21根据（1）、（2）可知命题对任何大于1的正整数都成立。三、课堂练习：1．n为奇数时xn+yn能被x+y整除。证明：（1）当n=1时，xn+yn=x+y，它能被x+y整除，所以n=1时命题成立。（2）假设当n=k(k为正奇数)时，命题成立，即xk+yk能被x+y整除。当n=k+2时，xk+2+yk+2=x2·xk+y2·yk=x2(xk+yk)+y2·yk－x2·yk=x2(xk+yk)+yk(y2－x2)=x2(xk+yk)+yk·(y+x)(y－x)。由归纳假设知。xk+yk能被x+y整除。(y+x)(y－x)也能被x+y整除。∴x2(xk+yk)+yk(y+x)(y－x)能被x+y整除。即xk+2+yk+2也能被x+y整除。故对n=k+2时也成立。即第k+1个奇数也成立。由（1）、（2）知命题对一切正奇数都成立2．平面内有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任何三个圆都不相交于同一点，求证这n个圆将平面分成f(n)=n2－n+2个部分。证明：（1）当n=1时，一个圆将平面分成两个部分，且f（1）=1－1+2=2．因此，n=1时命题成立。（2）假设n=k时命题成立，即k个圆把平面分成f(k)=k2－k+2个部分。则n=k+1时，在k+1个圆中任取一个圆C，剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分，而圆C与k个圆有2k个交点，这2k个交点将圆C分成2k段弧，每段弧将它所在的平面部分一分为二，故共增加了2k个平面部分，因此：f(k+1)=f(k)+2k=k2－k+2+2k=(k+1)2－(k+1)+2．∴n=k+1时命题也成立。由（1）、（2）知对一切n∈N*，命题都成立。四、小结：本节课我们主要是学习了运用数学归纳法证明整除问题和几何中的问题。运用了从特殊到一般的探索、归纳、猜想及证明的思维方式进行求解。在证明整除时，为了得到相等的式子，同时添加一些项，再去掉一项，用数学归纳法证明几何问题，证题的关键是弄清增加一条直线能够增加多少不同的交点，解此类问题常运用几何图形的性质，可注意加以运用【作业布置】用数学归纳法证明下列各题。1．两个连续正整数的积能被2整除。提示：设n∈N*，则要证明n(n+1)能被2整除。（1）n=1时，1×(1+1)=2．能被2整除，即命题成立。（2）假设n=k时，命题成立，即k·(k+1)能被2整除。那么当n=k+1时，(k+1)(k+1+1)=(k+1)(k+2)=k(k+1)+2(k+1)。由归纳假设k(k+1)及2(k+1)都能被2整除。∴(k+1)(k+2)能被2整除。故n=k+1时命题也成立由（1）、（2）可知，命题对一切n∈N*都成立。2．xn－yn(n∈N*)能被x－y整除。提示：（1）n=1时，x1－y1能被x－y整除。（2）假设当n=k(k≥1)时命题成立，即xk－yk能被x－y整除。那么n=k+1时，xk+1－yk+1=x·xk－y·yk=x(xk－yk)+x·yk－y·yk=x(xk－yk)+yk(x－y)。由归纳假设xk－yk及x－y能被x－y整除，所以xk+1－yk+1能被x－y整除。3．凸n边形的内角和f(n)=(n－2)·180°(n≥3)。提示：（1）n=3时，图形是三角形，内角和为180°。又f（3）=(3－2)·180°=180°。∴n=3时命题成立。（2）假设当n=k时，命题成立，即凸k边形的内角和为f(k)=(k－2)·180°，那么n=k+1时，凸k+1边形的内角和是在原来的凸k边形的基础上增加一个三角形，内角和f(k)+180°=(k－2)·180°+180°=［(k+1)－2］·180°。而f(k+1)=(k+1－2)·180°∴n=k+1时，命题也成立。由归纳假设凸n边形的内角和为f(n)=(n－2)·180°(n≥3)。