轨道和自旋合成总角动量

第三章：原子的精细结构：电子的自旋第一节原子中电子轨道运动磁矩第二节史特恩—盖拉赫实验第三节电子自旋的假设第四节碱金属双线第五节塞曼效应AutomicPhysics原子物理学结束第一节：原子中电子轨道运动磁矩第三章：原子的精细结构：电子的自旋前面我们详细讨论了氢原子和碱金属原子的能级与光谱，理论与实验符合的很好，可是后来用高分辨率光谱仪观测时发现，上述光谱还有精细结构，这说明我们的原子模型还很粗糙。本章我们将引进电子自旋假设，对磁矩的合成以及磁场对磁矩的作用进行讨论，去考察原子的精细结构，并且我们要介绍史特恩-盖拉赫，塞曼效应，碱金属双线三个重要实验，它们证明了电子自旋假设的正确性。量子表达式前言经典表达式角动量取向量子化结束目录nextback第一节：原子中电子轨道运动磁矩第三章：原子的精细结构：电子的自旋电子自旋假设的引入，正确解释了氦原子的光谱和塞曼效应.可是“自旋是一种结构呢？还是存在着几类电子呢？”并且到现在为止，我们的研究还只限于原子的外层价电子，其内层电子的总角动量被设为零，下一章我们将要着手讨论原子的壳层结构。量子表达式前言经典表达式角动量取向量子化结束目录nextback第一节：原子中电子轨道运动磁矩第三章：原子的精细结构：电子的自旋本节介绍了原子中电子轨道运动引起的磁矩，从电磁学定义出发，我们将得到它的经典表达式，利用量子力学的计算结果，我们可以得到电子轨道磁矩的量子表达式。对原子中电子轨道磁矩的讨论使我们发现，电子运动轨道的大小，运动的角动量以及原子内部的能量都是量子化的。量子表达式前言经典表达式角动量取向量子化结束目录nextback第一节：原子中电子轨道运动磁矩第三章：原子的精细结构：电子的自旋不仅如此，我们还将看到，在磁场中或电场中，原子内电子的轨道只能取一定的方向，一般地说,在电场或磁场中，原子的角动量也是量子化的，人们把这种情况称作空间量子化。量子表达式前言经典表达式角动量取向量子化结束目录nextback第一节：原子中电子轨道运动磁矩第三章：原子的精细结构：电子的自旋在电磁学中，我们曾经定义，闭合通电回路的磁距为iSn（1）量子表达式前言经典表达式角动量取向量子化结束目录nextback第一节：原子中电子轨道运动磁矩第三章：原子的精细结构：电子的自旋n1Tv因此，原子中电子绕核转也必定与一个磁距相对应，式中i是回路电流，S是回路面积为磁矩方向的单位矢量。设电子绕核运动的频率为v，则周期为依电流的定义式得eiT（2）量子表达式前言经典表达式角动量取向量子化结束目录nextback第一节：原子中电子轨道运动磁矩第三章：原子的精细结构：电子的自旋12dsrdr212rd212rdt另一方面，图中阴影部分的面积为0Tds2012Trdt201()2Tmrdtm02TLdtm解得：2TSLm（3）量子表达式前言经典表达式角动量取向量子化结束目录nextback第一节：原子中电子轨道运动磁矩第三章：原子的精细结构：电子的自旋把（2）、（3）两式得到磁矩的大小为：iS2eLrLm2erm称为旋磁比L与rL考虑到反向，写成矢量式为(4)量子表达式前言经典表达式角动量取向量子化结束目录nextback绕外磁场我们将这种旋进称为拉莫尔进动。相应的频率称为拉莫尔频率，下面我们来计算这个频率。中将受到力矩的作用，力矩将使得磁矩第一节：原子中电子轨道运动磁矩第三章：原子的精细结构：电子的自旋Blv磁矩在外磁场B的方向旋进。量子表达式前言经典表达式角动量取向量子化结束目录nextback第一节：原子中电子轨道运动磁矩第三章：原子的精细结构：电子的自旋B由电磁学知在均匀外磁场中受到的力矩为LB力矩另一方面，由理论力学得dLLBdt力矩量子表达式前言经典表达式角动量取向量子化结束目录nextback第一节：原子中电子轨道运动磁矩第三章：原子的精细结构：电子的自旋rLdrBdt将代入得rBddt令（1）Bddt的物理意义：与同向沿“轨道”切向，如下一页图所示。则量子表达式前言经典表达式角动量取向量子化结束目录nextback在dt时间内旋进角度第一节：原子中电子轨道运动磁矩第三章：原子的精细结构：电子的自旋(1)式的标量形式为sin(sin)ddtd另一方面，设sinddddt则把式代入上式得量子表达式前言经典表达式角动量取向量子化结束目录nextback是量子化的，这包括它的大小和空间取向都是量子化的。第一节：原子中电子轨道运动磁矩第三章：原子的精细结构：电子的自旋轨道磁矩的量子表达式1.量子力学关于轨道角动量的计算结果根据量子力学的计算，角动量L量子力学的结论为(1),LllhzlLmh（1）量子表达式前言经典表达式角动量取向量子化结束目录nextback第一节：原子中电子轨道运动磁矩第三章：原子的精细结构：电子的自旋式中l称为角量子数，它的取值范围为0,1,2,,1ln…lm称为轨道磁量子数当l取定后，他的可能取值为0,1,2,lml…量子表达式前言经典表达式角动量取向量子化结束目录nextback第一节：原子中电子轨道运动磁矩第三章：原子的精细结构：电子的自旋即完整的微观模型是：给定的n，有l个不同形状的轨道（l）；确定的轨道有2l+1个不同的取向（ml）；当n，l，m都给定后，就给出了一个确定的状态；所以我们经常说:（n，l，ml）描述了一个确定的态。量子表达式前言经典表达式角动量取向量子化结束目录nextback第一节：原子中电子轨道运动磁矩第三章：原子的精细结构：电子的自旋对于氢原子，能量只与n有关，n给定后，有n个l，每一个l有2l+1个ml所以氢原子的一个能级En对应于n2个不同的状态，我们称这种现象为简并，相应的状态数称为能级En的简并度。量子表达式前言经典表达式角动量取向量子化结束目录nextback第一节：原子中电子轨道运动磁矩第三章：原子的精细结构：电子的自旋对于碱金属原子，能量与n，l有关，可见相应的简并度比氢原子要低。此外，三个量子数（n，l，ml）表示一个状态，正好与经典物理中用（x，y，z）描述一个质点的状态相对应。量子表达式前言经典表达式角动量取向量子化结束目录nextback第一节：原子中电子轨道运动磁矩第三章：原子的精细结构：电子的自旋2.磁矩的表达式(1)LllhrL把式代入式得的数值表示为(1)2lehrLllm（2）量子表达式前言经典表达式角动量取向量子化结束目录nextback第一节：原子中电子轨道运动磁矩第三章：原子的精细结构：电子的自旋zlLmh又由式可得在Z方向的投影表达式为2lzzlehrLmm（3）通常令2Behm，称之为玻尔磁子。量子表达式前言经典表达式角动量取向量子化结束目录nextback第二节：史特恩—盖拉赫实验第三章：原子的精细结构：电子的自旋实验装置理论推导结束目录nextback第三章：原子的精细结构：电子的自旋o中有处于基态的原子，被加热成蒸汽，以水平速度v通过狭缝s1，s2，然后通过一个不均匀磁场，磁场沿Z方向是变化的，即0zzBBxy0zBz热平衡时原子速度满足下列关系22213()22xyzmvvvkT即23mvkT第二节：史特恩—盖拉赫实验实验装置理论推导结束目录nextback第三章：原子的精细结构：电子的自旋1dvt21112zFztmx方向：Y方向：（2）（1）1t1zzFdvatmv时刻，原子沿z方向的速度为在磁场区域第二节：史特恩—盖拉赫实验实验装置理论推导结束目录nextback第三章：原子的精细结构：电子的自旋出磁场到P点（设D表示磁场中点到P点的距离）22dDvt212zzzvtBzzzBFz另一方面，磁矩在磁场中受力为第二节：史特恩—盖拉赫实验实验装置理论推导结束目录nextback第三节：电子的自旋第三章：原子的精细结构：电子的自旋史特恩-盖拉赫实验中出现偶数分裂的事实启示人们，电子的轨道运动似乎不是全部的运动。换句话说，轨道磁矩应该只是原子总磁矩的一部分，那另一部分的运动是什么呢？相应的磁矩又是什么呢？朗德g因子前言电子自旋假设角动量的合成原子态的表示S-G实验解释结束目录nextback第三章：原子的精细结构：电子的自旋第三节：电子的自旋1925年，两位荷兰学生乌仑贝克与古兹米特根据史特恩-盖拉赫实验、碱金属光谱的精细结构等许多实验事实，发展了原子的行星模型，提出电子不仅有轨道运动，还有自旋运动，它具有固有的自旋角动量S。引入了自旋假设以后，人们成功地解释了碱金属的精细结构，塞曼效应以及史特恩-盖拉赫实验等。朗德g因子前言电子自旋假设角动量的合成原子态的表示S-G实验解释结束目录nextback第三章：原子的精细结构：电子的自旋第三节：电子的自旋1.电子自旋假设1925年，年龄不到25岁的两位荷兰学生乌仑贝克和古兹米特根据大量的实验事实，提出一个极大胆的假设，电子不仅有轨道运动，还有自旋运动，它具有固有的自旋角动量S，具体内容是：1)与轨道角动量进行类比知，自旋角动量的大小为(1)Sssh其中S称为自旋量子数（1）朗德g因子前言电子自旋假设角动量的合成原子态的表示S-G实验解释结束目录nextback也应该有2s+1个空间取向第三章：原子的精细结构：电子的自旋第三节：电子的自旋LszsSmh,1,smss…-s2）有2l+1个空间取向，则（2）12s12sm12s实验表明，对于电子来说，即有两个空间取向。朗德g因子前言电子自旋假设角动量的合成原子态的表示S-G实验解释结束目录nextback之间的对应关系是式知，轨道磁矩第三章：原子的精细结构：电子的自旋第三节：电子的自旋srLlL3)与对应的磁矩，由与轨道角动量2leLm(3)朗德g因子前言电子自旋假设角动量的合成原子态的表示S-G实验解释结束目录nextback之间也应有相应的对应关系，有实验结果定出这个对应关系是第三章：原子的精细结构：电子的自旋第三节：电子的自旋ssseSm3,ssszzBesm与此相类比，与相应的其量值关系为（4）朗德g因子前言电子自旋假设角动量的合成原子态的表示S-G实验解释结束目录nextback第三章：原子的精细结构：电子的自旋第三节：电子的自旋,mvrh1610()lrmlvlhmr3431161.0546109.11010Js注：自旋电子表面线速度的结论朗德g因子前言电子自旋假设角动量的合成原子态的表示S-G实验解释结束目录nextback第三章：原子的精细结构：电子的自旋第三节：电子的自旋综合上面的讨论，我们得到磁矩和角动量的比值为：)2()2(1megmeLll)2()2(2megmeSss（1）其中和分别是轨道和自旋g因子lgsg朗德g因子前言电子自旋假设角动量的合成原子态的表示S-G实验解释结束目录nextback引入g因子之后，任意角动量对应的磁矩可以统一表示为：第三章：原子的精细结构：电子的自旋第三节：电子的自旋jBjjgjj)1(Bjjjzgm（2）量子数j取定后=j,j-1,……，-j，共2j+1个值.取j=l,s就可以分别得到轨道和自旋磁矩。朗德g因子前言电子自旋假设角动量的合成原子态的表示S-G实验解释结束目录nextback第三章：原子的精细结构：电子的自旋第三节：电子的自旋在原子内部，有两种角动量LS和必然存在一个总角动量以及相应的磁矩。ss与ll与jlsls，分别共线，合成后朗德g因子前言电子自旋假设角动量的合成原子态的表示S-G实