第三章复变函数的积分第一节、柯西定理

1第三章复变函数的积分(Integrationoffunctionofthecomplexvariable)第一讲授课题目：§3.1复积分的概念§3.2柯西积分定理教学内容：复变函数的积分的定义、复变函数积分的计算问题、复变函数积分的基本性质、柯西积分定理.学时安排：2学时教学目标：1、了解复变函数积分的定义和性质，会求复变函数在曲线上的积分2、会用柯西积分定理和复合闭路定理计算积分，了解不定积分的概念教学重点：复变函数积分的计算问题教学难点：柯西积分定理教学方式：多媒体与板书相结合作业布置：7675P思考题：1、2、习题三：1-10板书设计：一、复变函数积分的计算问题二、柯西积分定理三、举举例例参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版.3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005年5月.4、《复变函数与积分变换》苏变萍陈东立编，高等2教育出版社，2008年4月.课后记事：1、会求复变函数在曲线上的积分2、用柯西积分定理和复合闭路定理计算积分计算方法掌握不理想3、利用课余时间多和学生交流教学过程：§3.1复积分的概念(Theconceptionofcomplexintegration)一、复变函数的积分的定义（Complexfunctionofthe3integraldefinition）定义（Definition）3.1设在复平面上有一条连接A及B两点的光滑简单曲线C设),(),()(yxivyxuzf是在C上的连续函数.其中),(yxu及),(yxv是)(zf的实部及虚部.把曲线C用分点BzzzzzAnn,...,,,1210分成n个小弧段，其中),...,2,1,0(nkyxzkkkyBznkz1kz1zAz0Ox在每个狐段上任取一点kkk，作和式))((11knkkkzzf（1）令|}{|max11kknkzz，当0时，若（1）式的极限存在，且此极限值不依赖于kkk的选择，也不依赖于曲线C的分法，则就称此极限值为)(zf沿曲线C的积分.记作Czzfd)())((lim110knkkkzzf4当)(zf沿曲线C的负方向（从B到A）积分，记作Czzfd)(当)(zf沿闭曲线C的积分，记作dzzfC定理(Theorem)3.1若),(),()(yxivyxuzf沿光滑简单曲线C连续，则)(zf沿C可积，且,d),(d),(d),(d),(d)(yyxuxyxviyyxvxyxuzzfCCC（2）证明：))((11knkkkzzf)]())][(,(),([111kknkkkkkkkyyixxivu,))(,())(,([))(,())(,(1111111111nkkkkknkkkkknkkkkknkkkkkyyuxxviyyvxxu由),(),()(yxivyxuzf沿光滑简单曲线C连续，可知),(),,(yxvyxu沿光滑简单曲线C也连续，当0时，有0|}{|max11kknkxx0|}{|max11kknkyy于是上式右端的极限存在，且有,d),(d),(d),(d),(d)(yyxuxyxviyyxvxyxuzzfCCC二、复变函数积分的计算(Complexintegrationofcomputationalproblems)设有光滑曲线C:tiytxtzzt,5即tz在,上连续且有不为零的导数tyitxtz.又设zf沿C连续.由公式(2)我们有dttytytxvtxtytxuyyxuxyxviyyxvxyxuzzfCCC,,),(),(),(),()(ddddddttytytxutxtytxvi,,即,dttztzfdzzfc(3)或RedzzfcdttztzfidttztzfIm(4)用公式(3)或(4)计算复变函数的积分,是从积分路径C的参数方程着手,称为参数方程法.注：当是分段光滑简单曲线时，我们仍然可以得到这些结论.例1计算dzzC，其中C是（1）从点1到i的直线段1C；（2）从点1到0的直线段2C，再从点0到i得直线段3C所连接成的折线段32CCC.解：（1）)()(;1011titttzCC，有：101010)12()1)(1(idtidttdtiittdzzc（2）).10()(:),10(1)(:2312tittzCtttzC，有：10100)1(32tdtdttdzzdzzdzzccc6例2计算dzziiI其中C是(1)连接ii到的直线段；(2)连接ii到的单位圆的左半圆(3)连接ii到的单位圆的右半圆解：ititdtiidtitdzziiItitzi1221201211,11,)1(于是程为：到i的直线段的参数方iedeidteedzziiI，tezititititit2232232223,)2(223于是到从方程为单位圆的左半圆的参数ieededzzI，tezitititiiit2)(20,)3(2222到从方程为单位圆的右半圆的参数上述二例说明：复变函数的积分与积分路径有关例30nCdzzz，其中n为任意整数，C为以0z为中心，r为半径的圆周.解C的参数方程为0,02izzre，由公式得722(1)1000221100cos(1)sin(1)2,1,0,1.iinnninnCnndzireidedrerzziindndrrinn此例的结果很重要，以后经常要用到.以上结果与积分路径圆周的中心和半径没有关系，应记住这一特点.例4计算Czdz，其中C为从原点到点34i的直线段.解：此直线方程可写作3,4,01xtytt或34,01ztitt.在C上，(34),(34)zitdzidt，于是112220013434342Czdzitdtitdti.因CCCCzdzxiydxidyxdxydyiydxxdy易验证，右边两个线积分都与路线C无关，所以Czdz的值，不论是对怎样的连接原点到34i的曲线，都等于21342i.例5设C是圆||z，其中是一个复数，是一个正数，则按逆时针方向所取的积分izdzC2证明：令iez，8于是ddiiez，从而iidzdzC220三、复变函数积分的基本性质(Complexintegrationofthebasicnature)设)(zf及)(zg在简单曲线C上连续，则有（1）是一个复常数其中kzzfkzzkfCC,d)(d)(（2）;d)(d)(d)]()([CCCzzgzzfzzgzf（3）nCCCCzzfzzfzzfzzfd)(...d)(d)(d)(21其中曲线C是有光滑的曲线nCCC,...,,21连接而成；（4）CCzzfzzfd)(d)(定理3.2（积分估值）如果在曲线C上，Mzf，而L是曲线C的长度，其中M及L都是有限的正数，那么有MLdzzfzzfCC|d)(|，（5）证明：因为MLzzMzzfknkkknkkk|||))((|111111两边取极限即可得：MLdzzfzzfCC|d)(|例6试证：rzrdzzz01lim230证:不妨设1r，我们用估值不等式（5）式估计积分的模，因为在rz上，9rzrzrrdzzzdzzz24232312||1|1上式右端当0r时极限为0，故左端极限也为0，所以rzrdzzz01lim230本节重点掌握：（1）复变函数积分的计算；（2）复变函数积分的基本性质§3.2柯西积分定理（Cauchyintegraltheorem)下面讨论复变函数积分与路径无关问题定理(Theorem)3.3设)(zf是在单连通区域D内的解析函数，则)(zf在D内沿任意一条闭曲线C的积分0d)(Czzf,在这里沿C的积分是按反时针方向取的.此定理是1825年Cauchy给出的.1851年Riemann在)(zf连续的假设下给出了简单证明如下证明：已知)(zf在单连通区域D内解析，所以)(zf存在，设)(zf在区域D内连续，可知u、v的一阶偏导数在区域D内连续，有0d)(CzzfCCcudyvdxivdyudxdz)z(fDC,，又DyxcDyxcdxdyvuudyvdxdxdyuvvdyudxGreen0)(,0)(公式由10注1:此定理证明假设“)(zf在区域D内连续”，失去定理的真实性，法国数学家古萨（E.Goursat）在1900年给出了真实证明，但比较麻烦.注2:若C是区域D的边界，)(zf在单连通区域D内解析，在D上连续，则定理仍成立.定理(Theorem)3.4若)(zf是在单连通区域D内的解析函数，1C、1C是在D内连接0z及z两点的任意两条简单曲线，则1)(Cdzzf2)(Cdzzf证明：由柯西积分定理1)(Cdzzf2)(Cdzzf021dzzfCC将柯西积分定理推广到多连通区域上定理(Theorem)3.5（复合围线积分定理）设有n+1条简单闭曲线,,...,,nCCC1曲线nCC,...,1中每一条都在其余曲线的外区域内，而且所有这些曲线都在的C内区域，nCCC,...,,1围成一个有界多连通区域D，D及其边界构成一个闭区域D.设f(z)在D上解析，那么令表示D的全部边界，我们有0dzzf)(其中积分是沿按关于区域D的正向取的.即沿C按逆时针方向，沿nCC,...,1按顺时针方向取积分；或者说当点沿着C按所选11定取积分的方向一同运动时，区域D总在它的左侧.因此01nCCCdzzfdzzfdzzfdzzf)()()()(即nCCCdzzfdzzfdzzf)(...)()(1例7计算dzzzezz)1(23,其中C是包含0与1、-1的简单闭曲线.解：作互不相交的互不包含的三个小圆周321,,ccc分别包含0，1，-1，且都在3z内，应用复合围线积分定理，有DC1C2CnC12)2()22(21)1(1)1(11)1()1()1()1(111222223321321eeieeeizdzzzezdzzzezdzzdzzzedzzzedzzzedzzzezczcczczczczz由柯西积分定理可知：若)(zf是在单连通区域D内的解析函数，则沿着区域D内的简单闭曲线C的积分Cdf)(与路径无关，只与起点0z及终点z有关，此时也可写成zzdf0)(在单连通区域D内固定0z，当z在区域D内变动时，zzdf0)(确定了上限z的一个函数，记作zzdfzF0)()(定理(Theorem)3.6设)(zf是单连通区域D的解析函数，则zzdfzF0)()(也是区域D内的解析函数，且