解析函数与调和函数

§4.解析函数与调和函数一、教学目标或要求：掌握解析函数与调和函数的关系熟练计算二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）：基本内容：解析函数与调和函数的关系例题重点：解析函数与调和函数的关系难点:例题三、教学手段与方法：讲授、练习四、思考题、讨论题、作业与练习：16、17、18§4.解析函数与调和函数在前一节，我们已经证明了，在区域D内解析的函数具有任何阶的导数。因此，在区域D内它的实部与虚部都有二阶连续偏导数。现在我们来研究应该如何选择才能使函数在区域D内解析。设在区域D上解析，则C--R条件成立，.下一章将证明，某个区域上的解析函数在该区域上必有任意阶的导数，因此可对上式求偏导数,两式相加可得同理可得定义3.5若二元实函数在区域内有二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方程，则称为区域内的调和函数。记，则为运算符号，称为拉普拉斯算子。定义3.6在区域D内满足C.—R.条件yvxu，xvyu的两个调和函数中),(yxu,),(yxv中，),(yxv称为),(yxu的轭调和函数.共轭调和函数的几何意义设是区域D上的解析函数，则，两式相乘得即所以就是说，梯度跟梯度正交.我们知道，和分别是曲线族“”和“”的法向矢量，因而上式表示“”与“”两族曲线相互正交.这就解析函数实部),(yxu与虚部),(yxv的几何意义。定理3.18若),(i),()(yxvyxuzf在区域D内解析，则在区域D内),(yxv必为),(yxu的轭调和函数.证由在内解析知，，从而。又解析函数具有的无穷可微性保证，在内均连续，故必相等，于是在内。同理，即，满足拉普拉斯方程。定理3.19设若),(yxu是在单连通区域D内的调和函数，则存在由（3.22）式所确定的函数),(yxv，使),(i),()(yxvyxuzf在区域D内解析.解析函数的又一等价定理),(i),()(yxvyxuzf在区域D内解析当且仅当在区域D内),(yxv是),(yxu的共轭调和函数。函数)(zf在区域D内为解析函数的充分必要条件是)](Im[zf为)](Re[zf的共轭调和函数。从已知解析函数的实(虚)部求它的虚(实)部的方法。1.线积方法定理3.19设是在单连通区域内的调和函数，则存在，使是内的解析函数。（其中是内定点,是内动点,为任意常数，积分与路径无关）证要使成为解析函数,则必须满足条件(条件),又,故，又在单连通区域可微，故积分与路径无关，从而2.条件由，两边对求积分,两边同时求的偏导，由条件两边对求积分求得的表达式,从而3.观察法例验证是平面上的调和函数,并求出以为实部的解析函数,使。解(1)故(2)方法一故又故，从而。方法二由于，故于是,从而，于是，即。故，以下同方法一（略）。方法三由于故。余下（略）。例验证在右半平面内是调和函数,并求以此为虚部的解析函数。解（1）故即在右半平面内是调和函数。（2）由得又,故,于是，故从而在右半平面单值解析。例设222),(yxyxyxu，试求以),(yxu为实部的解析函数),(i),()(yxvyxuzf，使得i)0(f．解依C.—R.条件有yxuvxy22于是yyxvd)22()(22xyxy由此得)(2xyvxyuyx22从而有cxx2)(因此cxyxyyxv222),(（c为任意常数）故得)2(i2)(2222cxyxyyxyxzfczi)i1(2将i)0(f代入上式，得icfi)0(由此得1c，故得i)i1()(2zzf经验证，所得)(zf既为所求。本章内容课后讨论1．何谓复变函数的围道积分？它与二元实线积分有何关系？2．设l是z平面上以A为起点B为终点的光滑曲线，试问与的几何意义有何不同?不等式说明了什么几何性质?3．计算复变函数的积分有哪几种方法?4．复变函数的基本性质是什么?5．若,能否说f(z)在l内必解析?试举例说明.6．对于什么样的闭曲线l,有7．到此,我们能计算哪些复变函数的围道积分?总结一下计算这些复变函数围道积分的公式?8．何谓原函数?如何计算解析函数的积分?9．以下二论断是否均正确?试举例说明.(1)对于复变函数f(z)而言，若(z)存在,则f(n)(z)亦存在.(2)对于实变函数f(x)而言，若(x)存在，则f(n)(x)亦存在.10．解析函数的导数是否仍为解析函数？11．以下论断是否正确？为什么？若在曲线l上连续，则积分定义一一个不在l上的解析函数，且12.若f（z）在区域内解析，在闭区域上连续，试证明在内有Cauchy不等式成立，其中M为的上界，s为l的全长，d和z离边界上最近的一点的距离。13．Liouville定理实际指出：“在整个复平面可微且有界的复变函数必是常数”。由此我们是否可推断：“在整个数轴（）上可微且有界的实函数一定是常数”？试举例说明。14．如何从Cauchy积分公式来理解解析函数其值之间的内在联系？