导数的概念23教材

第一节导数的概念•一、问题的提出•二、导数的定义•三、由定义求导数•四、导数的几何意义与物理意义•五、可导与连续的关系•六、小结一、引例1.自由落体运动的瞬时速度问题,0时刻的瞬时速度求t,0tt的时刻取一邻近于,t运动时间tsv平均速度00ttss).(20ttg,0时当tt取极限得2t)(tlimv00gtt瞬时速度.0gt如图oxy)(xfyCT0xxNM如图,如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.极限位置即.0,0NMTMN).,(),,(00yxNyxM设的斜率为割线MN00tanxxyy,)()(00xxxfxf,,0xxMNC沿曲线的斜率为切线MT.)()(limtan000xxxfxfkxx2.切线问题割线的极限位置——切线位置二、导数的定义,,)(,)(,0);()(,)(,)(00000000xxyxxfyxxfyxxyxfxxfyyxxxxxxxfy记为处的导数在点数并称这个极限为函处可导在点则称函数时的极限存在之比当与如果得增量取相应地函数时仍在该邻域内点处取得增量在当自变量有定义的某个邻域内在点设函数定义.)()(lim)(0000hxfhxfxfh其它形式.)()(lim)(0000xxxfxfxfxxxxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00000,)()(000xxxxdxxdfdxdyxf或或即.)(,0000快慢程度自变量的变化而变化的率，它反映了因变量随处的变化因变量在则是而的平均变化率为端点的区间上和因变量在以xxfxxxxy.)(,)(内可导在开区间就称函数处都可导内的每点在开区间如果函数IxfIxfy关于导数的说明：.)(),(,.)(.)(,dxxdfdxdyxfyxfxfIx或记作的导函数这个函数叫做原来函数导数值的一个确定的都对应着对于任一xxfxxfyx)()(lim0即.)()(lim)(0hxfhxfxfh或步骤:);()()1(xfxxfy求增量;)()()2(xxfxxfxy算比值.lim)3(0xyyx求极限例1.)()(的导数为常数求函数CCxf解hxfhxfxfh)()(lim)(0hCCh0lim.0.0)(C即例2.)(的导数求函数Nnxyn解hxhxxnnhn)(lim)(0]!2)1([lim1210nnnhhhxnnnx1nnx.)(1nnnxx即更一般地)(.)(1Rxx)(x例如,12121x.21x)(1x11)1(x.12x例3.)(sin)(sin,sin)(3xxxxxf及求设函数解hxhxxhsin)sin(lim)(sin022sin)2cos(lim0hhhxh.cosx.cos)(sinxx即33cos)(sinxxxx.21例4.)1,0()(的导数求函数aaaxfx解haaaxhxhx0lim)(haahhx1lim0.lnaax.ln)(aaaxx即.)(xxee例5.)1,0(log的导数求函数aaxya解hxhxyaahlog)(loglim0.log1)(logexxaa即.1)(lnxxxxhxhah1)1(loglim0hxahxhx)1(loglim10.log1exa2.右导数:单侧导数1.左导数:;)()(lim)()(lim)(0000000xxfxxfxxxfxfxfxxx;)()(lim)()(lim)(0000000xxfxxfxxxfxfxfxxx函数)(xf在点0x处可导左导数)(0xf和右导数)(0xf都存在且相等.例6.0)(处的可导性在讨论函数xxxf解xyxyoxxxfxfxx00lim)0()0(lim,1),0()0(ff即.0)(点不可导在函数xxfy.1xxxfxfxx00lim)0()0(lim如果)(xf在开区间ba,内可导，且)(af及)(bf都存在，就说)(xf在闭区间ba,上可导.)(,tan)(,))(,()()(0000为倾角即切线的斜率处的在点表示曲线xfxfxMxfyxf三、导数的几何意义oxy)(xfyT0xM切线方程为法线方程为).)((000xxxfyy).()(1000xxxfyy存在且不等于零时，当)()1(0xf切线方程为法线方程为0yy0xx时，当0)()2(0xf时，当)()3(0xf切线方程为0xx法线方程为0yy例7.,)2,21(1方程和法线方程并写出在该点处的切线斜率处的切线的在点求等边双曲线xy解根据导数的几何意义知,所求切线的斜率为21xyk21)1(xx2121xx.4所求切线方程为法线方程为),21(42xy),21(412xy.044yx即.01582yx即四、函数可导性与连续性的关系即可导在点设函数,)(0xxf)(lim00xfxyx)(0xfxyxxxfy)(0])([limlim000xxxfyxx0.)(0连续在点函数xxf)0(0x必连续。点在则函数可导在点即函数00)(,)(xxfxxf另一方面，一个函数在某点连续却不一定在该点可导。xyxy0xy例如,|,|)(xxf.0处连续，但不可导在x第二节和、差、积、商的求导法则•一、和、差、积、商的求导法则•三、复合函数的求导法则•四、基本求导法则与导数公式一、和、差、积、商的求导法则定理并且可导处也在点分母不为零们的和、差、积、商则它处可导在点如果函数,)(,)(),(xxxvxu).0)(()()()()()(])()([)3();()()()(])()([)2();()(])()([)1(2xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu证(3)hxvhxvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0证(1)、(2)略.)()(xvxuhxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()]()()[()()]()([lim0)()()()()()()()(lim0xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh2)]([)()()()(xvxvxuxvxu.)(处可导在xxf例1.sin223的导数求xxxy解23xyx4例2.ln2sin的导数求xxy解xxxylncossin2xxxylncoscos2xxxln)sin(sin2xxx1cossin2.cosx.2sin1ln2cos2xxxx例3.tan的导数求xy解)cossin()(tanxxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sinxxx222cossincosxx22seccos1.sec)(tan2xx即.csc)(cot2xx同理可得例4.sec的导数求xy解)cos1()(secxxyxx2cos)(cos.tansecxxxx2cossin.cotcsc)(cscxxx同理可得例5.sinh的导数求xy解])(21[)(sinhxxeexy)(21xxee.coshx同理可得xxsinh)(coshxx2cosh1)(tanh第二节反函数、复合函数的导数•一、反函数的导数•二、复合函数的求导法则.1)(1])([,}),(|{)(,0)()(11dydxdxdyyfxfIyyfxxIxfyyfIyfxyxy或且有内也可导在区间那么它的反函数且内单调、可导在某区间如果函数一、反函数的导数定理即反函数的导数等于直接函数导数的倒数.证内单调、连续。存在且在区间由已知条件可得xIxfy)(1,0y于是有,1yxxy,)(1连续xf),0(0xy0)(yf又知xyxfx01lim])([yxy1lim0)(1y.)(1])([1yfxf即,xIx任取xx以增量给),0(xIxxx例7.arcsin的导数求函数xy解,)2,2(sin内单调、可导在yIyx,0cos)(sinyy且内有在)1,1(xI)(sin1)(arcsinyxycos1y2sin11.112x.11)(arccos2xx同理可得;11)(arctan2xx.11)cot(2xxarc例8.log的导数求函数xya,0ln)(aaayy且,),0(内有在xI)(1)(logyaaxaayln1.ln1ax解,),(内单调、可导在yyIax特别地.1)(lnxx二、复合函数的求导法则定理dxdududydxdyxgufdxdyxxgfyxguufyxxgu或且其导数为可导在点则复合函数可导在点而可导在点如果函数)()(,)]([,)()(,)(即因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)证,)(可导在点uufy)(lim0ufuyu)0lim()(0uufuy故uuufy)(则xyx0lim])([lim0xuxuufxxuxuufxxx000limlimlim)()()(xguf推广),(),(),(xvvuufy设.)]}([{dxdvdvdududydxdyxfy的导数为则复合函数例9.sinln的导数求函数xy解.sin,lnxuuydxdududydxdyxucos1xxsincosxcot例10.)1(sin102的导数求函数xy解)1(sin)1(sin10292xxdxdyxxx2cos)1(sin10292.cos)1(sin20292xxx例11.)(arcsin2122的导数求函数xaaxxy解)()arcsin21(22xaaxxy2222212arcsin21xaxxaxax.arcsin21ax)0(a例12.)2(21sinln32的导数求函数xxxxy解),2ln(31)1ln(sin212xxxy)2(311sin122cos2122xxxxxxy例13.3cos1sin的导数求函数xey解)3(cos)1(sin1sinxeyx)1(1cos1sinxxex.1cos11sin2xexx四、基本求导法则与导数公式)2(311sin1cos121222xxxxxxx第三节高阶导数•一、高阶导数的定义•二、高阶导数求导举例•三、高阶导数的运算法则:一、高阶导数的定义引例变速直线运动的加速度..