2018年全国高考理科数学2卷---精美解析版

☆第1页共10页2018年普通高等学校招生全国统一考试（新课标II卷）理科数学2018.6.29本试卷4页，23小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i21i21（）A．i5354B．i5354C．i5453D．i54531．【解析】i54535i43i21i21i21i21i212，故选D．2．已知集合},,3|),{(22ZyZxyxyxA，则A中元素的个数为（）A．9B．8C．5D．42．【解析】)}1,1(),0,1(),1,1(),1,0(),0,0(),1,0(),1,1(),0,1(),1,1{(A，元素的个数为9，故选A．3．函数2)(xeexfxx的图像大致为（）A．B．C．D．3．【解析】)()(2xfxeexfxx，即)(xf为奇函数，排除A；由01)1(eef排除D；由O11xyO11xyO11xyO11xy☆第2页共10页)1(1)1)(1)(1(16116)4(2244feeeeeeeeeef排除C，故选B．4．已知向量ba,满足1a，1ba，则)2(baa（）A．4B．3C．2D．04．【解析】3122)2(2baabaa，故选B．5．双曲线)0,0(12222babyax的离心率为3，则其渐近线方程为（）A．xy2B．xy3C．xy22D．xy235．【解析】离心率3322222abaacace，所以2ab，渐近线方程为xy2，故选A．6．在ABC中，552cosC，1BC，5AC，则AB（）A．24B．30C．29D．526．【解析】5312cos2cos2CC，由余弦定理得24cos222CACBCACBCAB，故选A．7．为计算10019914131211S，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入（）A．1iiB．2iiC．3iiD．4ii7．【解析】依题意可知空白框中应填入2ii．第1次循环：3,21,1iTN；第2次循环：5,4121,311iTN；；第50次循环：101,10014121,991311iTN，结束循环得10019914131211S，所以选B．8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如23730，在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）0,0TN100i输出S是否iNN11i11iTT结束开始TNS☆第3页共10页A．121B．141C．151D．1818．【解析】不超过30的素数有：29,23,19,17,13,11,7,5,3,2，共10个．从中选取两个不同的数，其和等于30的有：7与23、11与19、13与17，共3对．则所求概率为1513210C，故选C．9．在长方体1111DCBAABCD中，1BCAB，31AA，则异面直线1AD与1DB所成角的余弦值为（）A．51B．65C．55D．229．【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则)0,1,1(A，)3,0,1(1D，)0,0,1(D，)3,1,0(1B，所以)3,1,0(1AD，)3,1,1(1DB，则55522,cos111111DBADDBADDBAD，故选C．10．若xxxfsincos)(在],[aa上是减函数，则a的最大值是（）A．4B．2C．43D．10．【解析】因为)4cos(2sincos)(xxxxf在区间]43,4[上是减函数，所以a的最大值是4，故选A．11．已知)(xf是定义域为),(的奇函数，满足)1()1(xfxf．若2)1(f，则)50()3()2()1(ffff（）A．50B．0C．2D．5011．【解析】因为)()(xfxf，所以)1()1(xfxf，则)1()1(xfxf，)(xf的最小正周期为4T．又2)1(f，0)0()2(ff，2)1()3(ff，0)0()4(ff，所以2)2()1()50()49()]4()3()2()1([12)50()3()2()1(ffffffffffff，选C．12．已知21,FF是椭圆)0(1:2222babyaxC的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为63的直线上，21FPF为等腰三角形，12021PFF，则C的离心率为（）A．32B．21C．31D．4112．【解析】如图，因为21FPF为等腰三角形，12021PFF且cFF221，所以3021FPF，则PD1ABCDA1C1B1xyz☆第4页共10页的坐标为)3,2(cc，故6323acckPA，化简得ac4，所以离心率41ace，故选D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线)1ln(2xy在点)0,0(处的切线方程为．13．【解析】2|120xyxy，则曲线)1ln(2xy在点)0,0(处的切线方程为xy2．14．若yx,满足约束条件05032052xyxyx，则yxz的最大值为．14．【解析】可行域为ABC及其内部，当直线zxy经过点)4,5(B时，9maxz．15．已知1cossin，0sincos，则)sin(．15．【解析】1coscossin2sincossin222，0sinsincos2cossincos222，则110sinsincos2coscoscossin2sin2222，即21)sin(1sincos2cossin22．16．已知圆锥的顶点为S，母线SBSA,所成角的余弦值为87，SA与圆锥底面所成角为45，若SAB的面积为155，则该圆锥的侧面积为．16．【解析】如图所示，因为87cosASB，所以815sinASB，1551615sin212SAASBSBSASSAB，所以54SA．又SA与圆锥底面所成角为45，即45SAO，则底面圆的半径102OA，圆锥的侧面积240SAOAS．AxyPF2F1OxABCO－35yASBO☆第5页共10页三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）记nS为等差数列na的前n项和，已知71a，153S．（1）求na的通项公式；（2）求nS，并求nS的最小值．17．【解析】（1）设等差数列na的公差为d，则由71a，153313daS得2d，所以922)1(7nnan，即na的通项公式为92nan；（2）由（1）知nnnnSn82)927(2，因为16)4(2nSn，所以4n时，nS的最小值为16．18．（12分）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型，根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为17,,2,1）建立模型①：ty5.134.30ˆ；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为7,,2,1）建立模型②：ty5.1799ˆ．（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．020402402202001801601401201008060投资额20002001200220032004200520062007200820092010201120122013201420152016年份14192535374242475356122129148171184209220☆第6页共10页18．【解析】（1）将19t代入模型①：1.226195.134.30ˆy（亿元），所以根据模型①得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为1.226亿元；将9t代入模型②：5.25695.1799ˆy（亿元），所以根据模型②得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为5.256亿元．（2）模型②得到的预测值更可靠．理由如下：答案一：从折现图可以看出，2010年至2016年的数据对应的点并没有紧密地均分分布在回归直线ty5.134.30ˆ的上下，2009年至2010年的环境基础设施投资额出现了明显的大幅度增加，这说明模型①不能很好的反应环境基础设施投资额呈线性增长．而2010年至2016年的数据对应的点紧密的分布在回归直线ty5.1799ˆ的附近，这说明模型②能更好地反应环境基础设施投资额呈线性增长，所以模型②得到的预测值更可靠．答案二：从计算结果来看，相对于2016年的环境基础设施投资额为220亿元，利用模型①得到的该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为1.226亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为5.256亿元的增幅明显更合理，所以模型②得到的预测值更可靠．19．（12分）设抛物线xyC4:2的焦点为F，过F且斜率为)0(kk的直线l与C交于BA,两点，8AB．（1）求l的方程；（2）求过点BA,且与C的准线相切的圆的方程．19．【解析】（1）焦点F为)0,1(，则直线)1(:xkyl，联立方程组xyxky4)1(2，得0)42(2222kxkxk，令),(),,(2211yxByxA，则222142kkxx，121xx．根据抛物线的定义得8221xxAB，即64222kk，解得1k（舍去1k），所以l的方程为1xy；（2）设弦AB的中点为M，由（1）知3221xx，所以M的坐标为)2,3(，则弦AB的垂直平分线为5xy，令所求圆的圆心为)5,(mm，半径为r，根据垂径定理得341222152222mmmmABr，由圆与准线相切得3412212mmm，解得3m或11m．xFOABy－1☆第7页共10页则所求圆的方程为：16)2()3(22yx或144)6()11(22yx20．（12分）如图，在三棱锥ABCP中，22BCAB，4ACPCPBPA，O为AC的中点．（1）证明：PO平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且二面角CPAM为30，求PC与平面PAM所成角的正弦值．20．【解析】（1）证明：连接OB，PCPA，O为AC的中点，ACPO，4,22ACBCAB，222ACBCAB，即BCAB，221ACOB，又4,32PBPO，则222PBPOOB，即OBOP，OOBAC，PO平面ABC；（2）由（1）知OPOCOB,,两两互相垂直，以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则)0,0,2(B，)0,2,0(C，)0,2,0(A，)32,0,0(P，)0,2,2(BC，)32,2,0(AP，)32,2,0(