运筹学指派问题

第五节指派问题（AssignmentProblem）1.标准指派问题的提法及模型指派问题的标准形式是：有n个人和n件事，已知第i个人做第j件事的费用为cij（i，j=1，2，…，n），要求确定人和事之间的一一对应的指派方案，使完成这n件事的总费用最小。njiorxxxtsxcZijnjijniijninjijij,,2,1,,1011.min1111数学模型为:01ijx若指派第i个人做第j件事若不指派第i个人做第j件事(i,j=1,2,…,n)设n2个0-1变量其中矩阵C称为是效率矩阵或系数矩阵。其解的形式可用0-1矩阵的形式来描述，即(xij)nn。标准的指派问题是一类特殊的整数规划问题，又是特殊的0-1规划问题和特殊的运输问题。1955年W.W.Kuhn利用匈牙利数学家D.Konig关于矩阵中独立零元素的定理,提出了解指派问题的一种算法,习惯上称之为匈牙利解法。2.匈牙利解法匈牙利解法的关键是指派问题最优解的以下性质：若从指派问题的系数矩阵C=（cij）的某行（或某列）各元素分别减去一个常数k，得到一个新的矩阵C’=（c’ij)，则以C和C’为系数矩阵的两个指派问题有相同的最优解。（这种变化不影响约束方程组，而只是使目标函数值减少了常数k，所以，最优解并不改变。）对于指派问题，由于系数矩阵均非负，故若能在在系数矩阵中找到n个位于不同行和不同列的零元素（独立的0元素），则对应的指派方案总费用为零，从而一定是最优的。作变换，其不变性是最优解匈牙利法的步骤如下：步1：变换系数矩阵。对系数矩阵中的每行元素分别减去该行的最小元素；再对系数矩阵中的每列元素分别减去该列中的最小元素。若某行或某列已有0元素，就不必再减了（不能出现负元素）。步2：在变换后的系数矩阵中确定独立0元素（试指派）。若独立0元素已有n个，则已得出最优解；若独立0元素的个数少于n个，转步3。确定独立0元素的方法：当n较小时，可用观察法、或试探法；当n较大时，可按下列顺序进行•从只有一个0元素的行（列）开始，给这个0元素加圈，记作，然后划去所在的列（行）的其它0元素，记作。•给只有一个0元素的列（行）的0加圈，记作，然后划去所在行的0元素，记作。•反复进行，直到系数矩阵中的所有0元素都被圈去或划去为止。•如遇到行或列中0元素都不只一个（存在0元素的闭回路），可任选其中一个0元素加圈，同时划去同行和同列中的其它0元素。被划圈的0元素即是独立的0元素。•步3：作最少数目的直线，覆盖所有0元素（目的是确定系数矩阵的下一个变换），可按下述方法进行1）对没有的行打“”号；2）在已打“”号的行中，对所在列打“”3）在已打“”号的列中，对所在的行打“”号；4）重复2）3），直到再也找不到可以打“”号的行或列为止；5）对没有打“”的行划一横线，对打“”的列划一纵线，这样就得到覆盖所有0元素的最少直线数。步4：继续变换系数矩阵，目的是增加独立0元素的个数。方法是在未被直线覆盖的元素中找出一个最小元素，然后在打“”行各元素中都减去这一元素，而在打“”列的各元素都加上这一最小元素，以保持原来0元素不变（为了消除负元素）。得到新的系数矩阵，返回步2。以例说明匈牙利法的应用。9107104106614159141217766698979712例1：求解效率矩阵为如下的指派问题的最优指派方案。解：第一步：系数矩阵的变换（目的是得到某行或列均有0元素）910710410661415914121776669897971256360400892751000003220205第二步：确定独立0元素56360400892751000003220205元素的个数m=4，而n=5，进行第三步。第三步：作最少的直线覆盖所有的0元素，目的是确定系数矩阵的下一个变换。第四步：对上述矩阵进行变换，目的是增加独立0元素的个数。方法是在未被直线覆盖的元素中找出一个最小元素，然后在打“”行各元素中都减去这一元素，而在打“”列的各元素都加上这一最小元素，以保持原来0元素不变（消除负元素）。得到新的系数矩阵。（它的最优解和原问题相同，为什么？）563604008927510000032202050000100100100000100000010由解矩阵可得指派方案和最优值为32。34140400811053800003420207例2某大型工程有五个工程项目，决定向社会公开招标，有五家建筑能力相当的建筑公司分别获得中标承建。已知建筑公司Ai（I=1，2，3，4，5）的报价cij（百万元）见表，问该部门应该怎样分配建造任务，才能使总的建造费用最小？工程公司B1B2B3B4B5A14871512A279171410A3691287A46714610A569121065,,2,1,105,,2,115,,2,11.61084min515155541211jiorxixjxtsxxxxZijjijiij61012961061476781296101417971215784解：第一步：系数矩阵的变换（目的是得到某行或列均有0元素）04320405001232037710811030第二步：确定独立0元素,即加圈元素的个数m=4，而n=5，进行第三步。04320405001232037710811030第三步：作最少的直线覆盖所有的0元素，目的是确定系数矩阵的下一个变换。第四步：对上述矩阵进行变换，目的是增加独立0元素个数。方法是在未被直线覆盖的元素中找出一个最小元素，然后在打“”行各元素中都减去这一元素，而在打“”列的各元素都加上这一最小元素，以保持原来0元素不变（消除负元素）。得到新的系数矩阵。（它的最优解和原问题相同，为什么？因为仅在目标函数系数中进行操作）04320405001232037710811030043204050001211266018110300432140501012102660081103104321405010121026600811031此矩阵中已有5个独立的0元素，故可得指派问题的最优指派方案为：1000001000000010001000100也就是说，最优指派方案为：让A1承建B3，A2承建B2，A3承建B1，A4承建B4，A5承建B5。这样安排建造费用为最小，即7+9+6+6+6=34（百万元）3.一般的指派问题在实际应用中，常会遇到各种非标准形式的指派问题。通常的处理方法是先将它们转化为标准形式，然后用匈牙利解法求解。•最大化指派问题设最大化指派问题系数矩阵C中最大元素为m。令矩阵B=(bij)=(m-cij),则以B为系数矩阵的最小化指派问题和以C为系数矩阵的原最大化指派问题有相同的最优解。•人数和事数不等的指派问题若人少事多，则添上一些虚拟的“人”。这些虚拟的人作各事的费用系数可取0，理解为这些费用实际上不会发生。若人多事少，则添上一些虚拟的“事”。这些虚拟的事被各人做的费用系数同样也取0。•一个人可做几件事的指派问题若某个人可做几件事，则可将该人看做相同的几个人来接受指派。这几个人作同一件事的费用系数当然都一样。•某事一定不能由某人作的指派问题若某事一定不能由某个人做，则可将相应的费用系数取做足够大的数M。例3：对于例2的指派问题，为了保证工程质量，经研究决定，舍弃建筑公司A4和A5，而让技术力量较强的建设公司A1，A2，A3参加招标承建，根据实际情况，可允许每家建设公司承建一项或二项工程。求使总费用最少的指派方案。工程公司B1B2B3B4B5A14871512A279171410A3691287解：由于每家建筑公司最多可以承建两项，因此可把每家建筑公司看成两家建筑公司，其系数矩阵为'''33221178129678129610141797101417971215784121578454321AAAAAABBBBB上面的系数矩阵有6行5列，为了使“人”和“事”的数目相同，引入一件虚拟的事B6，使之成为标准指派问题的系数矩阵：'''332211078129607812960101417970101417970121578401215784654321AAAAAABBBBBB然后，用匈牙利解法求解。可得费用最省为4+7+9+8+7=35（百万元）