2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义[1]

向量数量积的物理背景Fs一个物体在力的作用下发生了位移，那么该力对此物体所做的功为多少？Fsθ|s||F|Wcos其中力和位移是向量，是与的夹角，而功W是数量.FssF将公式中的力与位移推广到一般向量θ|s||F|Wcos功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；结果是两个向量的模及其夹角余弦的乘积．出现了向量的一种新的运算||||cosabab一、平面向量数量积的定义coscos,..,abababababab已知两个非零向量与他们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积）记作即（4）在运用数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角的范围是[0°，180°]．（1）a·b中间的“·”在向量的运算中不能省略，也不能写成a×b，a×b表示向量的另一种运算．注意：（2）两向量的数量积是一个数量，而不是向量.（3）规定，零向量与任一向量的数量积为零.向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负,什么时候为0？a·b=|a||b|cosθ当0°≤θ＜90°时a·b为正；当90°＜θ≤180°时a·b为负。当θ=90°时a·b为零。||||cosababOABab1BC||cosbab叫做向量在方向上的投影；||cosaba叫做向量在方向上的投影.投影是个数，可正可负可零||||cosabab||||cosababaabab的几何意义：数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积.二、平面向量数量积的几何意义《非常学案》58页例1向量数量积的性质总结:ab设,都是非零向量,则(1)0abab(2),||||,||||abababababab当同向时；当反向时；(3)||||||abab证明向量垂直的依据求模的方法4||||abababcos=为，的夹角求角的依据||||cosabab2aaaaaa特别的或三、平面向量数量积的性质2aaa常常记作22aaaa(3)(5)(4)(2)(1)||4,||8//_____.ababab已知，且，则练一练：32||4,||8_____.ababab变式：已知，且，则0四、平面向量数量积的运算律探究1：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？为什么？小组讨论完成．运算律是否成立交换律分配律结合律,,abc实数,,abc向量abbaabba()abcacbc()()abcabc()()abcabc成立成立不成立bcaccba)(abba)()()(bababacbcacba)(⑴交换律：⑵数乘结合律：⑶分配律：则，和实数、、已知向量cba数量积的运算律cbcacba)(4）（典例解析222222(1)()2(2)().abaabbababab例求证：；）（||3,||4,abkakbakb例4已知当且仅当为何值时，向量与互相垂直？3||6,||460(2)(3).abababab例已知，与的夹角为，求当堂检测221.,=12.||=5,||23,||_______.3.||=3||6//,(2)60.4.||=1||2abababababababababababababab已知为两个单位向量，下列说法中正确的是（）A.B.=0C.||D.设，则已知，，当(1)与的夹角为时，分别求已知，，若aab与垂直，求与的夹角.D351894