非线性规划模型

非线性规划模型0：引言：1：如果目标函数和约束条件有一个或多个变量为非线性函数，则称这种规划问题为非线性规划问题。其模型为：ljxgmixhtsRxxfzjin,,2,1,01.,,2,1,0..),(min2：如果仅有等式约束hi,则可以用lagrange乘子法构造L(x,)=f(x)+ihi(x)(i为参数）,化为无约束优化问题，然后利用无约束优化最优解必要条件来求解。3：故求解时主要考虑只有不等式约束模型：2,,2,1,0..),(minljxgtsRxxfzjn一：一些非线性规划模型：1：供应与选址问题：某公司有6个建筑工地要开工，每个工地的位置（用平面坐标a,b表示，距离单位：千米）及水泥日用量d（吨）由下表给出。目前有两个临时料场位于A(5,1),B(2,7),日储量各有20吨，假设从料场到工地之间均有直线道相连；试制定每天的供应计划，即从A,B两料场分别向各工地运多少吨水泥，使总的吨千米数最小。为了进一步减少吨千米数，打算舍弃两个临时料场，改建两个新的，日储量仍各有20吨，问应建在何处，节省的吨千米数有多大？123456a1.258.750.55.7537.25b1.250.754.7556.57.25c3547611工地位置(a,b)及水泥日用量d解：（1）：这是双目标规划问题：一个是收益，一个是风险，一般不能同时满足。将两个函数合并成一个函数，从而使问题简化。（2）该投资的决策问题的数学模型为：（3）参数意义：=0时，表示不考虑风险；=1时，表示不考虑收益，主要考虑风险。……（7）（4）取=1进行求解。非线性规划问题。3：武器分配问题（p110)4:1995年数学模型竞赛A题：飞行管理问题（p110)60,0500021620)(max2121221222121xxxxzgxxxxxxzf约束条件目标函数二：二次规划及有效集法：1：二次规划的标准形式：8..,21)(minbAxtsRHcxHxxxfnnT对称2：如果（8）式中约束条件Ax=b,则可用lagrange乘子法求解：……(9)构造）的最优解。即为（其中解出求导得对9,,00,,21,xxbAxAcHxxRbAxcxHxxxLmTT3：对有不等式约束的（8）；可讨论其约束条件mmmmbxabxabbxaabAx1111把其中起约束的不等式改为不等式，不起约束的不等式去掉，化为等式约束的二次规划求解。称为有效集法。三：用MATLAB优化工具箱解二次规划。1：解法：（1）化的标准形。（2）输入H,c,A,b;(3)用qp程序求解。bAxtsRHcxHxxxfnnT..,21)(min对称2：常见的qp程序：•X=qp(H,c,A,b)•x=qp(H,c,A,b,v1)•x=qp(H,c,A,b,v1,v2,x0,ne,dis,1)%解H非正定的QP•[x,lag]=qp(H,c,A,b,……，)qp中的参数除H,c,A,b同lp.3：例：求解：0,32222..12422),(min212121212122212121xxxxxxxxtsxxxxxxxxf解：（1）将这个二次规划化为标准形：322,12211112,4,2111,21bAcHxxx（2）编程计算：toMATLABerciguihua.m结果：x=(0.6667,1.3333)f=-17.5556三：带约束非线性规划的解法：1：通常解法有：•可行方向法•罚函数法•梯度投影法（参考《运筹学》清华大学出版社；《最优化理论》袁亚湘，科学出版社。•逐步二次规划法（MATLAB中采用）2：逐步二次规划法思想：（解模型（1））（1）构造lagrange函数,,2,,11xLxgxhxfxLljjjmiii用二次函数逼近化为二次规划问题，求解。（3）实际中是迭代法求解。四：用MATLAB优化工具箱解带约束非线性规划：1：解法程序：'',2,1,,0,'',0,''0,''gradvvoptxfunconstrxoptxfunconstrxxfunconstrxFun.m文件要同时给出目标函数f和约束条件g。形式为[f,g]=fun(x);x0为迭代初值;opt为算法选择;v1为下界;v2为上界;grad.m文件要（用分析法）同时给出目标函数f和约束条件g的梯度，形式为[df,dg]=fun(x);g和dg的表达形式请见下例：2：例：研究：的极小值问题。带约束0,5.11100,212221212212xxxxxxxxxf解：分不给出梯度和给出梯度两种情况。不给出梯度：toMATlABnotidu.m给出梯度时：toMATLAByestidu.m五：供应与选址问题求解：1：用旧料场时：是一线性规划问题：计算结果如下：toMATLABliaochxxml.m(调用了liaochxx.m函数）i123456Ci1(料场A)350701Ci2(料场B)0040610总吨千米数为liaochxx(x)为136。2。2：改建新料场的计算：非线性规划问题：toMATLABliaochml.m结果为：总吨千米数为liaoch(x)为89.9，比使用原料场减少了46.3.i123456新料场位置Ci1(料场A)354710(5.6348,4.8687)Ci2(料场B)0000511(7.2497,7.7499)下图：画出了工地，原料场，新料场的位置（‘+’为工地，‘*’为原料场，‘o’为新料场。）新料场建于用料最大的工地边，你预计到了吗？0123456789012345678六：任务：•求解投资决策问题；•武器分配问题；