第十二章压杆稳定(讲稿)材料力学教案(顾志荣)

1第十二章压杆稳定同济大学航空航天与力学学院顾志荣一、教学目标深入理解弹性平衡稳定性的概念熟练应用压杆的临界力公式，掌握杆端约束对临界力的影响压杆的分类与临界应力曲线掌握压杆稳定性计算的方法二、教学内容稳定的概念两端铰支细长压杆的欧拉临界力杆端约束的影响临界应力总图压杆稳定性计算三、重点难点重点：欧拉临界力公式、压杆的分类、压杆稳定性计算难点：欧拉临界力公式、压杆的分类、压杆稳定性计算四、教学方式采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。五、计划学时3学时六、实施学时2七、讲课提纲★压杆稳定问题的提出钢尺：(a)(b)(c)图12-1图12-1(a),钢尺，杆长cml2，属于强度问题226261mmAMPa240skgNAFss624624010261024066图14-1(b),钢尺,杆长cml30，按欧拉公式计算临界力。kgNlEIFcr1.1818109.0106.2102)3.0112001.0026.0102)(111122311222（图14-1(c),钢尺,杆长ml1，按欧拉公式计算临界力。kgNFcr1.551)11106.2102211112（若ml2，则kgNFcr28.18.12)21106.2102211112（3(一)稳定平衡与不稳定平衡的概念1、稳定平衡(a)(b)(c)图12-2压杆在力F的作用下，其轴线与F的作用线重合，这种状态称为压杆的直线形状的平衡状态，如图12-2(a)所示。在图12-2(a)的基础上，在横向施加一个微小的干扰力，使压杆脱离原来直线形状的平衡状态，（见图12-2(b)虚线所示）从图12-2(b)上除去横向干扰力，如果压杆能恢复到原有图12-2(a)的直线形状的平衡状态，则压杆原来直线形状的平衡（图12-2(a)）称为稳定平衡。2、不稳定平衡见图12-2(c)，即：在图12-2(b)上除去干扰力，压杆不能恢复到原来图12-2(a)的直线形状的平衡状态（虚线位置），即在弯曲状态下保持平衡，则原来的直线形状的平衡12-2(c)称为不稳定平衡。4(二)压杆的失稳与临界力1、当压杆所承受的压力F小于某一确定的值Fcr。即FFcr时，压杆能保持原有直线形状的平衡状态，则压杆是稳定的；2、当压杆承受的压力F超过这一确定的值Fcr，即FFcr时，压杆不再维持原有直线形状的平衡状态，即直线形状下的平衡状态丧失了稳定性,称为压杆失稳。3、显然，上述这一确定的值Fcr，是压杆从稳定过度到失稳的临界力。注意：临界力是一个数值，它既不是外力，也不是内力，它是压杆保持直线形状稳定平衡所能承受的最大的压力（再大一点压杆就失稳）；或者说，它是压杆丧失直线形状稳定平衡所需要的最小压力（再小一点就不再失稳）。在小变形和材料服从虎克定律的条件下，计算压杆临界压力的欧拉公式为：22)lEIFcr（─────────────────(A)式中I为丧失稳定方向压杆横截面的惯性矩，l为压杆的长度，长度系数与压杆两端的约束条件有关：两端固定：5.0一端固定，另一端铰支：7.0两端铰支：1一端固定，另一端自由：2(三)临界应力与临界应力总图1、临界应力在临界力作用下，压杆横截面上的平均应力称为临界应力。欧拉临界应力计算式:AIlEAFcrcr22)(5∵iAI──────称为截面的惯性半径。∴2iAI22)(ilE令il称为压杆的柔度，它反映：22E注意：只有当压杆内的应力不超过材料的比例极限时，用欧拉公式计算临界力才是正确的，即pcrE22则ppE──────压杆材料的柔度极限值；3A钢：GPa200E，MPa200p，100p2、临界应力总图⑴何谓临界应力总图？根据压杆临界应力在比例极限内的欧拉公式，以及超过比例极限的经验公式，将临界应力cr与柔度的函数关系用曲线表示，得到的函数曲线称为临界应力总图。⑵临界应力总图图12-3①压杆的长度l；②支承形式；③截面几何性质i。6由图12-3可见：临界应力总图就是表示cr随变化的规律，对于不同范围的，其计算cr的公式也不同。图12-3中：AD段属于强度问题。CD段是以经验公式bacr绘制的斜直线；CB段是以欧拉公式22Ecr绘出的曲线。这三段曲线：D点是强度问题和稳定问题的分界点，C点是求临界应力的欧拉公式与经验公式的分界点。①p的压杆这类杆件称为大柔度杆或细长杆，其失稳为弹性稳定问题。临界应力由欧拉公式计算；22Ecr───────────────(B)②po的压杆这类杆件称为中柔度杆，其失稳为超过比例极限的稳定问题。临界应力由直线形式的经验公式计算：bacr───────────────(C)式中的a、b是与材料有关的常数。注意：o是应用直线公式时的最低值。o所对应的临界应力等于材料的极限应力o。boso脆塑即：oocrba则baooA3钢MPaMPaMPao23512.1304sba6.61o7③0的压杆这类杆件称为小柔度杆，主要为强度问题。其临界应力等于材料的极限应力o。对于塑性材料：socr对于脆性材料：bocr例题12-1：长度为ml3的压杆如图示，由3A钢制成，横截面有四种，面积均为23102.3mmA。已知：GPa200E，MPa235s，12.1304cr，100p,4.61o。试计算图12-4所示截面压杆的临界荷载。图12-4解：1、矩形截面：∵3102.32bbA∴mmb40惯性半径mmbbbAIi55.11212223min压杆的柔度pil13055.111035.03则kN37513010200102.3232322EAAFcrcr82、正方形截面：∵32102.3aA∴mma5.56mmaaAIi3.161224923.161035.03ilpo∴kN644102.3)9212.1304()12.1304(3AAFcrcr3、圆形截面∵32102.34dA∴mmd8.6395.154dAIi9495.151035.03il∴kN635102.3)9412.1304(3AFcrcr4、空心圆截面∵322102.34)7.01（mdA∴mmD3.892.27)7.01(464)7.01(2244DDAIi1.552271035.03。ilo属小柔度杆，其临界荷载应按强度计算：∴kN752102.31023536AFcrcr可见，在面积相同情况下，空心圆截面压杆的临界荷载最高，即承载能力最强。9(四)压杆的稳定计算1、安全系数法压杆的稳定条件：scrcrnFFF][][sn][───规定的稳定安全系数上式用应力形式表示为：scrrcn][][工程上常用的稳定条件：scrcrnFFn][n──压杆工作时的实际安全系数关键：临界力crF的计算例题12-2图12-5所示压杆，若在绕y轴失稳时，两端可视为铰支；若在绕z轴失稳时，则两端可看作为固定支座。压杆的材料为A3钢，E=200MPa,MPa200p,MPa240s,ml2。截面为：mmht6540。已知2][sn，MPa304a，MPa12.1b。试校核压杆的稳定性。解：1、计算立柱在绕y轴失稳时的临界力∵在绕y轴失稳时，可视为两端铰支；∴1y4712331015.910654012112mthIy236106.2106540mthAmAIiyy2371088.1106.21015.91061088.1212yyyil99102001020069ppE图12-510∴py属大柔度杆，用欧拉公式计算ycrF)(：kN51.4)21(1015.910200)()(276222lEIFyyycr2、计算立柱在绕z轴失稳时的临界力∵在绕z轴失稳时，可视为两端固定，∴5.0z4712331047.3104065121121mhtIz42371016.1106.21047.3mAIizz861012625.02zzzil5712.1240304basso∵pzo∴该杆在在绕z轴失稳时属于中柔度杆，其临界力由经验公式计算：MPa2088612.1304)bazcr（KN540106.210208)()36AFzcrzcr（3、结论该杆的临界力KN451)(ycrcrFF，则其工作安全系数2][51.2180451spcrnFFn故压杆的稳定性符合规定要求。112、折减系数法压杆的稳定条件：][][rc───工作应力，][───许用压应力，是一个小于1的系数，称为折减系数，其数值与压杆的材料及柔度有关。注意：若给定sn][，则按安全系数法对压杆进行稳定校核；若给定][而未给出sn][时，则按折减系数法对压杆进行稳定校核。例题12-3图12-6所示托架，撑杆AB为圆木杆。两端铰支，MPa11][，试求AB杆的直径d解：1、求？ABlmxtg4.230∴mx38.1mlAB77.24.238.1222、求?NABF0cM06.12.34.230sinqFNAB图12-6KN213NABF3、求?d⑴设5.01，则246311038710115.010213][mFANAB42103874dmd222.012mdi21055.54501055.577.212il查表，767.0'1与假设相距甚远。⑵设63.02767.05.02'1122463210307101163.010213][mFANAB2242108.19410307][mFdNABmdi221095.44108.194561095.477.212il查表，708.0'2⑶设67.02708.063.02'2232463310289101167.010213][mFANABmFdNAB243102.19410289][mdi22108.44102.19458108.477.212il查表，688.0'3⑷设68.02688.067.042410285mAmd21019mi21075.4583.0685.0'4'44则mmmd1901019213(五)极限荷载、容许荷载的概念。图12-7例题12-4钢结构受力如图12-8所示，AB杆为刚杆，杆件①和杆件②材料的弹性模量GPa210E，比例极限MPa210p，屈服极限MPa210s，MPa304a，MPa12.1b，杆长，容许应力MPa170][，试：1、求结构所能承受的极限荷载maxF及其作用位置。2、求结构所能承受的最大的容许荷载][F及其作用位置。注：只需考虑纸平面内的稳定问题。解：1、计算p，1，23.99102101021069ppE杆①：;01.014