大学物理第三章刚体力学

第三章刚体力学刚体是一种特殊的质点系统，无论在多大外力作用下，系统内任意两质点间的距离始终保持不变。形状、大小都不变的物体称为刚体。刚体是可以忽略由于受力而引起物体形状和体积改变的理想模型。3－1刚体的运动一、刚体的平动：刚体运动时，刚体上任一条直线的位置始终保持彼此平行，称为平动。此时，刚体中所有质点的位移、速度和加速度都相同，可任选刚体上一点的运动来代表。即刚体的平动满足质心运动定理：ciamF二、刚体的定轴转动：刚体绕一固定直线（转轴Z）的转动。z此时轴外各质点都在垂直于转轴的平面上作圆周运动，在同一时间间隔内，走过的弧长虽不同，但角位移，因而角速度、角加速度都一样。适合用圆周运动的角量描述：22,),(dtddtddtdt3－2力矩转动定律转动惯量一、力矩下图中，一力F作用于刚体上的P点，可将力F正交分解为平行于转轴OZ的分力F1和在转动平面上的分力F2。其中，F1与转轴平行，对刚体不产生转动效应，只有F2对刚体产生转动效应。将F2乘以力的作用线到转轴的垂直距离d（力臂），称为力F对转轴的力矩大小，即sinrFdFM22力矩是矢量，在定轴转动中，力矩的方向沿着转轴，其指向可按右手螺旋法则确定：右手四指由矢径r的方向经小于的角度转向力F方向时，大拇指的指向就是力矩的方向。根据矢量的矢积定义，力矩可表示为：FrM若F位于转动平面内，则上式简化为sinFrFdM二、转动定律力矩是刚体转动状态变化的原因，力矩的作用使刚体获得角加速度。下图中，刚体作定轴转动，各质点都绕转轴作圆周运动，角加速度均为。任取刚体中一质量为的质元mi，它到转轴的垂直距离为ri，此质元的加速度为ai，所受合外力为Fi，刚体中所有其他各质点对它的合内力为fi。根据牛顿第二定律得iiiiaΔmfF切向的分量式为iiiiiirmfFsinsiniiiiiirmfFsinsin两边同乘ri，得2sinsiniiiiiiiirmrfrF上式左边第一项为外力Fi对转轴的力矩，而第二项是内力fi对转轴的力矩。对刚体的所有质点都可写出类似上式的方程，求和得)(sinsin2iiiiiiiirmrfrF由于内力总是成对出现的，内力矩总和为零，有JrmMii)(2其中2iirmJ称为刚体对转轴的转动惯量。刚体在合外力矩的作用下，所获得的角加速度与力矩M的大小成正比，与刚体的转动惯量成反比，称为刚体转动定律。它是刚体转动的基本定律。三、转动惯量转动惯量反映了刚体转动惯性的大小。转动惯量越大的刚体，要改变它的转动状态就越困难。转动惯量与刚体的大小形状、质量分布以及转轴的位置等有关。一般的情况下刚体质量是连续分布的，把它分割成无限多个微小部分，其中质量为dm的小块到转轴的垂直距离为r，则它对该转轴的转动惯量为rdmdmrdJ2积分得到整个刚体对相应转轴的转动惯量为dmrJ2常见刚体的转动惯量2mrJ22/mrJ2)(2221/rrmJ22/mrJ22/mrJ122/mlJ522/mrJ322/mrJ例1求质量为m，长为l的均匀细棒对下面转轴的转动惯量：(1)转轴通过棒的中心并和棒垂直；(2)转轴通过棒的一端并和棒垂直。OAdxxl232222012112ddmllxxmrJll解：(1)在棒上离轴x处，取一长度元dx，设棒的质量线密度为，则dm=dx，有：（2）当转轴通过棒的一端A并与棒垂直时：23022313ddmllxxmrJlA例2求质量为m、半径为R、厚为h的均质圆盘对通过盘心并与盘面垂直的轴的转动惯量。hdrrmrJ322dd解：如图所示，将圆盘看成许多薄圆环组成。取任一半径为r，宽度为dr的薄圆环，它的转动惯量为：24032121d2dJmRhRrhrJR积分：注意：J与h无关一个质量为m、半径为R的实心圆柱体对其中心轴的转动惯量也与上述结果相同。平行轴定理：2mdJJCDdJCCJDJC、JD分别是刚体对过质心轴，和与之相平行的另一转轴的转动惯量。两转轴间距为d薄板的正交轴定理：yxzJJJyxzoX,Y轴在薄板面上，Z轴与薄板垂直。例3、质量m，长为l的四根均匀细棒，组成一正方形框架，绕过其一顶点O并与框架垂直的轴转动，求转动惯量。Om,lC解：由平行轴定理，先求出一根棒对框架质心C的转动惯量：22231)2(121mllmmlJ'C因而框架对质心C的转动惯量2344mlJJ'CC再次用平行轴定理，得：222310)22(434mllmmlJOOJR例4、一质量为m，半径为R的薄圆盘，绕与盘边相切的轴转动，求转动惯量ZXY解：取图示坐标系，已知22/mRJZ由垂直轴定理得24121mRJJJzyx又由平行轴定理，有2245mRmRJJy例5一质量为M，半径为R的定滑轮（当作圆盘）上面绕有细绳。绳的另一端挂一质量为m的物体而下垂忽略轴处摩擦，求物体m由静止下落h高度时的速度和此时滑轮的角速度。MmgahROT2T1对物体m，由牛顿第二定律maTmg滑轮和物体的运动学关系为Ra22/MRJRT解：对定滑轮M，由转动定律，对于轴O，有物体下落高度h时的速度Mmmghahv242这时滑轮转动的角速度RMmmghRv24gMmma2以上三式联立，可得物体下落的加速度为例6一质量为m、半径为R的匀质圆盘绕通过盘心且垂直于盘面的光滑轴正以o的角速度转动。现将盘置于粗糙的水平桌面上，圆盘与桌面间的摩擦系数为µ，求圆盘经多少时间、转几圈将停下来？解摩擦力是分布在整个盘面上的，计算摩擦力的力矩时，应将圆盘分为无限多个半径为r、宽为dr的圆环积分。故摩擦力矩为rdromgRrdrRmgrMR32202221mRJRgJM34于是得rdro由=o+t=0得gRtOo43又由2-o2=2，所以停下来前转过的圈数为gRNoo16322223－3刚体定轴转动的动能定理dMdrFdrFiiiiiiisin)90cos(一、力矩的功外力Fi使刚体转动一微小角度d所作的元功：iiirdFdA刚体转过有限大角度时力矩的功有多个力矩作用在刚体上时：odiiMAdd)(ooMMAAii二、定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能：为刚体各质点动能之和222221)(2121JωωrmvmEiiiiK因得到ddddddddJtJtJJMddJM2121dd21222121JJJMA外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。三、刚体定轴转动的动能定理：四、刚体的重力势能刚体的重力势能是组成刚体的各个质点重力势能之和刚体的重力势能相当于质量集中在刚体质心C的重力势能。ohihcxmCmyiiiiPhmgghmEciiimghmhmgm对于包含刚体的系统，功能原理仍然成立：系统外力所作的功与系统非保守内力所作的功之和等于系统机械能的增量。解：细棒下降过程中只有重力矩做功。杆重心下降了l/2,应用功能原理lgJmglJlmgA321223gllvA例7一质量为m、长为l的均匀细棒OA可绕通过其一端的光滑轴O在竖直平面内转动。今使棒从水平位置开始自由下摆，求细棒摆到竖直位置时下端点A的速度，和O点处的受力。OAG设在竖直位置时，杆在O点受力N，将它分解成水平与竖直的两个分量。由于此时N与G都过转轴O，对O点的力矩=0。由转动定律知，棒转动的角加速度=0因而ONnNtNGC0,02tttmaNlamglgmagmNNnn25)2()(2例8有一由弹簧、匀质滑轮和重物M组成的系统，该系统在弹簧为原长时被静止释放。运动过程中绳与滑轮间无滑动。求:重物M下落h时的速度；222212121khJMvMghhMmrk解得：mMkhMghv2122解系统在运动过程中只有保守力—重力和弹性力作功，所以机械能守恒：rv,mrJ221代入3－4角动量定理角动量守恒定律一、质点的角动量定理和角动量守恒定律1．质点的角动量一质量为m的质点，以速度v运动，相对于坐标原点O的位置矢量为r，定义质点对坐标原点O的角动量为vmrPrL其大小为sinrmvL角动量的方向可以用右手螺旋法则来确定。2、质点的角动量定理MFrvmdtdrdtLdvmvvmdtrddtvmdrvmdtrdvmrdtddtLd)(0)()()()(而质点所受的合外力对某一参考点的力矩等于质点对该点的角动量对时间的变化率—角动量定理。角动量守恒定律是自然界普遍适用的一条基本规律。力矩M=0的条件：（1）力臂r=0（有心力作用），（2）力F=0，（3）r与F相互平行。若质点所受的合外力矩如果对于某一固定点，质点所受的合外力矩为零，则质点对该固定点的角动量矢量保持不变—角动量守恒定律。0dtLd常矢量或则L0M3、质点的角动量守恒定律例9行星运动的开普勒第二运动定律：行星对太阳的位矢在相等的时间内扫过相等的面积。解：行星在太阳引力（有心力）作用下沿椭圆轨道运动，因而行星在运行过程中，它对太阳的角动量守恒不变。常量sinrmvL因而掠面速度：常量sin212sinrvdtdrdtdSrrm2m1ORv0v例10发射一宇宙飞船去考察一质量为m1，半径为R的行星。当飞船静止于空间中距行星中心r=4R时，以初速v0发射一质量为m2(m2远小于飞船质量)的探测器，要使探测器正好能掠着行星表面着陆，角应多大？解：探测器飞行过程中只受到行星的引力，因而对O点的角动量守恒：vRmrvm202sin又由机械能守恒：RmmGvmrmmGvm2122212022121代入r=4R，求出20123141sinRvGm二、刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律1．刚体定轴转动的角动量当刚体以角速度ω绕定轴转动时，刚体上每个质点都以相同的角速度绕转轴转动，质点mi对转轴的角动量为：2iiirmL于是刚体上所有质点对转轴的角动量，即刚体的角动量为：JrmrmLiiii22＝写成矢量形式JL角动量矢量的方向与角速度矢量的方向一致。2．刚体定轴转动的角动量定理刚体绕定轴转动的转动定律JM可改写成LdωJdωJddtM)(如果合外力矩M对定轴转动刚体的作用时间从t1到t2，刚体的角动量从L1到L2，则将上式积分，得1221LLdtMtt作用在刚体上的冲量矩等于刚体角动量的增量。称为刚体的角动量定理。3．刚体定轴转动的角动量守恒定律若刚体所受的合外力矩为零，即M=0，则L＝恒矢量，或2211JJ当刚体所受的的合外力矩为零时，刚体的角动量保持不变。称为角动量守恒定律。例如跳水、冰上芭蕾舞、茹可夫斯基凳等。例12质量M长L的均匀细杆可绕过O点的水平轴转动，初始时杆静止于竖直位置质量m的小球以v0垂直撞向杆的下端与杆发生完全弹性碰撞，求碰后小球回弹速度v,杆角速度及上摆的最大角度M,Lm,v0O解：相撞过程系统对O轴的角动量守恒；撞前后动能相等，上摆过程机械能守恒：2)1(21212121312222020/cosMgLJJmvmvMLJ,mvLJLmvgLmmmLmmmvvmMmMv2200)3(241cos)3(6,33求出