泰勒公式及其应用

第1页（共12页）泰勒公式及其应用数学学院数学与应用数学专业2009级杨立指导教师吴春摘要:泰勒公式以一种逼近的思想成为数学分析中的一个重要知识，在分析和研究数学问题中有着重要的作用。本文研究了利用泰勒公式证明微分中值定理，求函数的极限，进行近似计算，求函数的高阶导数和偏导数等方面的应用，恰当的运用泰勒公式能够给我们的解题带来极大的方便。关键词：泰勒公式；微分中值定理；极限；高阶导数；偏导数Abstract:Taylorformulaisanimportantknowledgeofmathematicsanalysisinanapproximationofthethought,anditplaysanimportantroleintheanalysisandstudyofmathematicalproblems.ThispaperstudiestheapplicationoftheTaylorformulainprovingdifferentialmeanvaluetheorem,thelimitoffunction,approximatecalculation,theapplicationofhighorderderivativeforfunctionandpartialderivative,andusingTaylorformulaappropriatecanbringgreatconveniencetoourproblem.Keywords:Taylorformula;approximatecalculation;limit;higherderivative;partialderivative引言泰勒公式最早是以泰勒级数的形式出现在泰勒1715年出版的著作《增量及其逆》中，但在该书中却没有给出具体的证明，直到19世纪由柯西给出了现在的形式及其严格的证明。泰勒公式是一种逼近的思想，集中体现了逼近法的精髓，可以将有理分式函数﹑无理函数和初等超越函数等复杂函数用简单的多项式函第2页（共12页）数来近似代替，而误差又能满足要求。这种化复杂为简单的功能，使其成为分析和研究数学其他问题的有力工具。也对函数性态的研究和函数值的近似计算带来了极大的方便。本文主要是通过给出实际例子体现其应用，并对这些方法做了归纳和总结。1泰勒公式及其证明1.1带佩亚诺余项的泰勒公式若)(xf在0xx点有直到n阶连续导数，那么就有：'200000()()()()()()2!fxfxfxfxxxxx()00()()!nnnfxxxRxn(1.1)其中nnxxoxR0是余项，这就是xf在0xx点的带佩亚诺余项的泰勒公式[1]。说明：①此公式对函数xf的展开要求较低，只要求其在0xx点处n阶可导即可，展开的形式也比较简单。②这种泰勒公式的实质是局部增量公式的升华，即可以把此函数局部地用线性函数代替改为用多项式代替，当0xx时用多项式代替这个函数所产生的误差nxx0是一个无穷小量。③它难以说明误差范围，因此不适合对余项作定量估算，只能是一个定性估目的。④特别地当00x时，有：()'2(0)(0)()(0)(0)()2!!nnnfffxffxxxRxn(1.2)这种佩亚诺项的泰勒公式也被称为麦克劳林公式。第3页（共12页）1.2带拉格朗日余项的泰勒公式若函数xf在bax,上有直到n阶连续导数，并且xfn1在区间ba,内存在，那么就有：20'0000()()2!fxfxfxfxxxxx()00!nnnfxxxRxn(1.3)其中101!1nnnxxnfxR被称为余项，此时介于x与0x之间，这就是函数xf在0xx点的带拉格朗日余项的泰勒公式[2]。说明：①它对函数xf的展开要求较高，因为它要求对任意的bax,都要成立，其形式也相对复杂。②这种泰勒公式的实质是对拉格朗日微分中值定理的升华，它是一个定量估计值。③运用这种泰勒公式逼近xf时，可以确定其大致的误差范围，但其误差是由xf的1n阶导数决定的，若a越接近于b，即区间ba,越小，那么误差就会越小，这种泰勒公式适合处理xf在区间上的问题，特别是在不等式的证明中应用起来比较方便。1.3简单的证明我们知道000()()()()fxfxfxxx，根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有：0000lim()()()xfxxfxfxx，其中误差是在0x即0xx的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确，于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式：2010200()()()()nnPxAAxxAxxAxx第4页（共12页）来近似地表示函数fx且要写出其误差fxPx的具体表达式。设函数Px满足：00()(),Pxfx00()(),Pxfx00()(),Pxfx,00()().nnPxfx于是可以依次求出012,,,,.nAAAA显然，00()PxA，所以00()APx;0110(),()PxAAPx0022()()2!,2!PxPxAA00()()!,.!nnnnPxPxnAAn至此，多项的各项系数都已求出，得：20000000()()()()()()()().2!!nnfxfxPxfxfxxxxxxxn接下来就要求误差的具体表达式了。设nRxfxPx，于是有：000()()()0nRxfxPx.所以可以得出：000()()()0.nnnnRxRxRx根据柯西中值定理可得：01110100()()()()()(1)()()0nnnnnnnRxRxRxRxxnxxx（其中：10()0nxx），这里1在x和0x之间；继续使用柯西中值定理得：102112010110nnnnnRRxRnnxnx，第5页（共12页）这里2在1与0x之间；连续使用1n次后得出：1101!nnnnRxRnxx，这里在0x和x之间。但111nnnnRxfxPx，由于11(1)!nnPxnA，1(1)!nnA是一个常数，故10nPx，于是得11nnnRxfx。综上可得，余项110()(1)!()nnnfRxnxx。一般来说展开函数时都是为了计算的需要，故x往往要取一个定值，此时也可把nRx写为nR。2泰勒公式的应用2.1利用泰勒公式进行近似计算和误差估计根据泰勒展开式的余项可以把握函数用泰勒公式近似的程度，但需要估计误差的范围，关键就在于对1nf值的估计。如果存在0M，有Mfn1，00,xxx，那么我们就可以估计10()(1)!nnMRxxxn，00,xxx，从而当我们期望近似值的误差不超过时，只需在不等式10(1)!nMxxn中解出n是多少就可以知道运用泰勒公式应计算多少项即可，由此我们就可以近似地计算出某些复杂数的具体值。例1求210xedx的近似值，精确到510。解由于该被积函数的原函数不是初等函数，所以无法用牛顿-莱布尼茨公式来计算，因此我们要用泰勒公式来计算它的近似值。第6页（共12页）因为24221(1)2!!nxnxxexn将两边逐项积分，有210xedx=4211112000012!!nxxdxxdxdxdxn=111111(1)32!5!21nnn=11111111310422161329936075600又因为511.31075600所以21011111110.7468363104221613299360xedx。总结：通过以上我们可以知道：只要给出一个数，知道它的误差范围，我们就可以利用泰勒公式较为简单的求出它的近似值。例2计算e的值，当9n时，误差不超过多少？解在xe的麦克劳林展开式中，令1x可得：1111,2!!(1)!eenn（01）当9n时，有：933(1)0.00000110!3628800R也就是说11111+2.718281,2!3!9!e其误差不超过610。总结：利用泰勒公式我们可以轻易地判断出一个函数公式的误差范围。2.2利用泰勒公式证明中值问题如果要证明的结论是至少存在一点,cab，使得关于a,b,()fa,()fb,(),(),(),,()ncfcfcfc代数式的证明。然后验证辅助函数满足罗尔定理条件，由定理的结论即得命题的证明。例2设fx在,ab上三次可导，试证明：,cab，使得：第7页（共12页）31()()()()()224abfbfafbafcba(2.1)证明设k为使得下式成立的实数：31()()()()0224abfbfafbakba(2.2)此时，问题可变为证明：,cab，使得kfc。设31()()()()()0224axgxfxfafxakxa(2.3)则()()0gxgb。根据罗尔定理，,ab，使得()0g。由(2.3)式，即：2()()()02228aaakfffa(2.4)这是关于k的方程，注意()f到在点2a处的泰勒公式：2()1()()0,22222aaaaffffc,cab(2.5)由(2.4)(2.5)两式可得：22211()()()8228kaafcfa则有：()kfc，命题得证。总结：解此类题最重要的就是辅助函数的确定，上面的例题使用的是原函数法，即通过恒等变形将结论化为以消除导数符号的形式或易积分的形式，用观察法或积分法求出原函数，为简便积分常数取作零，移项使等式一边为零，则另一边将结论中的c换成x即为所需的辅助函数。例4设函数fx在闭区间1,1上具有三阶连续导数，且(1)1f，(1)1f，(0)0f，证明：在开区间1,1内至少存在一点，使得()3f第8页（共12页）证明由于函数()fx在闭区间1,1上具有三阶连续导数，因此可以写出()fx的二阶泰勒公式：2(0)()()(0)(0)2!3!ffxfxffxx2(0)()(0)(01)2!3!ffxfx将1,1xx分别带入得：1()(0)(1)(0)26ffff，2()(0)(1)(0)26ffff其中120,1两式相减可得：12()()(1)(1)6ffff由于fx在闭区间1,1上连续，由闭区间上连续函数的介值定理可知，在区间21,1,1内至少存在一点使得12()()2()fff，代入等式12()()16ff可得()13f，即()3f。总结：例4用泰勒公式进行证明的优势是显而易见的，条件中函数为三阶可导的抽象函数，如果不用泰勒公式，条件和结论似乎风牛马不相及，证明难度可想而知。