反比例函数中的面积很全面

学习目标1、会推导反比例函数与三角形、矩形面积关系的性质；灵活运用性质解决与面积有关的问题。2、引导学生自主探索，合作研讨，培养观察、分析、归纳问题的能力，体会数形结合的思想。3、通过学习活动培养学生积极参与和勇于探索的精神，激发学习热情。重点.难点重点:性质的灵活运用；难点:函数知识的综合应用，通过面积问题体会数形结合思想xy0xy0初二数学组徐弦||21||||2121knmAPOASOAPP(m,n)AoyxP(m,n)Aoyxk则垂足为轴的垂线作过上任意一点是双曲线设,,)1()0(),(AxPkxynmP想一想？).(||||||,,,,)2(如图所示则垂足分别为轴的垂线轴分别作过矩形knmAPOASBAyxPOAPBP(m,n)AoyxBP(m,n)AoyxBk上任意一点是双曲线设)0(),(kxynmP以上两条性质在课本内没有提及，但在这几年的中考中都有出现，所以在这里要把它总结出来。⑶如图③，设P(m，n)关于原点的对称点P′(－m，－n)，过P作x轴的垂线与过P′作y轴的垂线交于A点，则S⊿PAP′=图③||2k⑴如图①，点P(m,n)是反比例函数图象上的任意一点，PD⊥x轴于D，则⊿POD的面积为1图①P(m,n)DoyxDoxy2分析：由性质1，得S⊿OPD=12|2|2||k如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，△ABP的面积为2，则这个反比例函数的解析式为．xy4A(m,n)oyxBP点评：将△ABO通过“等积变换”同底等高变为△ABP如图：点A在双曲线上，AB⊥x轴于B，且⊿AOB的面积S⊿AOB=2，则k=xky-4分析：由性质1可知，S⊿AOB=∴k=±4,∵k0，∴k=-422||k如图，在直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点B是双曲线上的一个动点，当点B的横坐标逐渐增大时，⊿OAB的面积将会（）A．逐渐增大B．不变C．逐渐减小D．先增大后减小xyOAB3(0)yxxCC图②⑵如图②，点P是反比例函数图象上的一点，过P分别向x轴，y轴引垂线，垂足分别为A,C,阴影部分的面积为3，则这个反比例函数的解析式是xy3)0(kxky启发：如果去掉⑵中的“如图”，结论如何？图②⑵如图②，点P是反比例函数图象上的一点，过P分别向x轴，y轴引垂线段，与x、y轴所围成的矩形的面积是3，则这个反比例函数的解析式是xy3xy3或举一反三,在平面直角坐标系内，从反比例函数y=的图象上一点分别作x、y轴的垂线段，与x、y轴所围成的矩形的面积是12，则该函数解析式是（06山西）xkxy12xy12或)0(kxky⑶如图③，A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，AC∥y轴，BC∥x轴，⊿ABC的面积为S，则（）A．S=1B．1S2C．S=2D．S2解:由性质(3)可知，S△ABC=2|k|=2图③ACoyxBC设疑4：如图，过反比例函数图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连结OA、OB，设AC与OB的交点为E，⊿AOE与梯形ECDB的面积分别为S1、S2，比较它们的大小，可得()A．S1S2B．S1=S2C．S1S2D．S1和S2的大小关系不确定)0(2xxyB⑷如图④，A、C是函数的图象上的任意两点，过A作x轴的垂线，垂足为B，过C作y轴的垂线，垂足为D，记Rt⊿AOB的面积为S1，Rt⊿OCD的面积为S2，则（）A．S1S2B．S1S2C．S1=S2D．S1和S2的大小关系不确定解:由性质1，S⊿OAB=S⊿OCD，可知选C图④oA(m,n)yxCBDCxy1⑸.如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD的面积为矩形，则它的面积为.1yx3yx2探究1：反比例函数与一次函数y=kx+b交于点A(1，8)和B(4，n)，求：⑴这两个函数的解析式；⑵三角形⊿AOB的面积。xmyyxxooABoo解：⑴将A(1，8)代入中得：m=1×8=8，故所求函数解析式为∴B(4,n)将A(1，8)和B(4，2)代入y=kx+b中得：解得：故所求的一次函数的解析式为：y=－2x+10xmyxy8248bkbk102bk先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法。探究1：反比例函数与一次函数y=kx+b交于点A(1，8)和B(4，n)，求：⑴这两个函数的解析式；⑵三角形⊿AOB的面积。xmy⑵解法1：设直线y=－2x+10与x轴、y轴分别交于点C，DyxooABooCD(1，8)(4，2)(5,0)(0，10)则C(5,0)，D(0,10)，于是S⊿OAB=25－5－5=15探究1：反比例函数与一次函数y=kx+b交于点A(1，8)和B(4，2)，求：⑴这两个函数的解析式；⑵三角形⊿AOB的面积。xmy⑵解法2：如图，过A作AC⊥x轴于C，过B点作BD⊥x轴于D由性质（1）知：S⊿OAC=S⊿OBD=4，∴S⊿OAB=S⊿OAC+S梯形ACDB－S⊿OBD=4+－4=15yxxooABooCD3)82(21(1，8)(4，2)探究1：反比例函数与一次函数y=kx+b交于点A(1，8)和B(4，2)，求：⑴这两个函数的解析式；⑵三角形⊿AOB的面积。xmyyxxooABooCDE⑵解法3：如图，过A作AC⊥x轴于点C，过B点作BD⊥x轴于点D,CA与DB相交于E点，由A(1，8)和B(4，2)的坐标可知点E的坐标为(4，8)，由性质（1）知，S⊿OAC=S⊿OBD=4，∴S⊿OAB=S矩形ODEC－S⊿OAC－S⊿OBD－S⊿ABE=32－4－4－9=15设疑6．如图④，已知双曲线经过长方形OCED的边ED的中点B，交CE于点A，若四边形OAEB的面积为2，则k的值为BEoyxDCA图④)0(kxky2分析：由性质⑴知，S⊿OAC=S⊿OBD=，由S矩形OCED=S⊿OAC+S⊿OBD+SOCED=4S⊿OBD得，，解得，k=224222kkk2探究2：如图，在x轴的正半轴上依次截取OA=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5，过点A1，A2，A3，A4，A5，分别作x轴的垂线与反比例函数y=2/x(x≠0)的图象相交于点P1，P2，P3，P4，P5，得直角三角形⊿OP1A1，⊿A1P2A2，⊿A2P3A3，⊿A3P4A4，⊿A4P5A5，并设其面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，求S1+S2+S3+S4+S5的值。分析：由性质⑴可知：由OA=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5，可分别得出S2，S3，S4，S5与⊿OP2A2，⊿OP3A3，⊿OP4A4，⊿OP5A5之间的关系，212S313S414S515S于是S1+S2+S3+S4+S551413121160137S⊿OP1A1=S⊿OP2A2=S⊿OP3A3=S⊿OP4A4=S⊿OP5A5=1由此可得出：Sn=n11．如图①，双曲线经过矩形OABC的边BC的中点E，交AB交于点D，若梯形ODBC的面积为3，则双曲线的解析式为（）A．B．C．D．)0(kxkyxy1xy2xy3xy6EBoyxCAD图①B2k2432kk∴K=2分析：由BoyxCADEFS1S2S32．如图②，点A、B是双曲线上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线，若S3=1，则S1+S2=xy3图②33S1S2S34分析：由性质2得，S1+S3=S2+S3=3将S3=1代入得，得，S1=S2=2∴S1+S2=43．如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（-6，4），则△AOC的面积为()A．12B．9C．6D．4)0(kxkyDBAyxOC↑→分析：∵A(-6,4),由D为OA的中点可知，D（-3,2）∴双曲线的解析式为：由性质1可知，S△OBC=3于是有，S△AOC+3=S△AOB=12∴S△AOC=9xy6Bxy6（-3，2）通过这节课的学习，你有什么收获？⑴反比例函数图象上任意一点“对应的直角三角形”面积S1与k值有什么关系？⑵反比例函数图象上任意一点“对应的矩形”面积S2与k值有什么关系？⑶若反比例函数与正比例函数y=kx(k≠0)存在两个交点P(x1，y1)，Q（x2，y2），则点P与点Q有什么关系？⑷你体会到哪些解题的思想和方法？将当堂检测第3小题的结论由特殊推广到一般的情形：21SS312SSSnSSSS312如图，在反比例函数y=2/x(x0)的图象上有点P1，P2，P3，P4，…，Pn，它们的横坐标依次为1，2，3，4，…，n，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积，从左到右依次为S1，S2，S3，…，Sn，则S1+S2+…+Sn的值为（用n的代数式表示）12122nnn1S……………12nn322422)12,1()22,2()32,3()42,4(222S3S2Snxy11、在的图象中，阴影部分面积不为1的是（）BP(m,n)AoyxP(m,n)Aoyx想一想若将此题改为过P点作y轴的垂线段,其结论成立吗?||21||||2121knmAPOASOAP小结：（1）反比例函数y=(k≠0)图象上一点P（x，y）向x轴作垂线，垂足为A，则构成△POA的面积为|k|，即当k一定时，也为定值。21xkΔPOASAOPxAyOBxy=-2xxy2CDS△ABC=kAyOBxy=-2xxy2CDS四边形ACBD=k2AyOBxy=-2xxy2CDES△ABE=k2AyOBxy=-2xxy2CDES矩形AEBF=Fk4