信号与系统课件(郑君里版)第四章-PPT课件

§4.1引言§4.2拉普拉斯变换的定义、收敛域§4.3拉氏变换的基本性质§4.4拉普拉斯逆变换§4.5用拉普拉斯变换法分析电路、s域元件模型§4.6系统函数（网络函数）H(s)§4.7由系统函数零、极点分布决定时域特性§4.8由系统函数零、极点分布决定频响特性§4.9二阶谐振系统的s平面分析§4.10全统函数与最小相移函数的零、极点分布§4.11线性系统的稳定性§4.12双边拉氏变换§4.13拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系第四章拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析§4.1引言拉氏变换是求解常系数线性微分方程的工具，优点如下：（1）求解步骤得到简化,可以把初始条件包含到变换式里，直接求得全响应；（2）拉氏变换分别将时域的“微分”与“积分”运算转换为域的“乘法”和“除法”运算，也即把微积分方程转化为代数方程；s（3）将指数函数、超越函数等复杂函数转化为简单的初等函数；（4）将时域中的卷积运算转化为s域中的乘法运算，由此建立起系统函数H(s)的概念；（5）利用系统函数零、极点分布可以简明、直观地表达系统性能的许多规律。§4.2拉普拉斯变换的定义、收敛域（一）从傅里叶变换到拉普拉斯变换当满足绝对可积条件时，存在傅里叶变换()()jtFftedt)(tf1.拉氏变换是傅里叶变换的推广（1）系统求解中的激励、响应的非零取值往往是从时刻开始的。()et()rt0t0dtdt（2）由于绝对可积条件限制了某些增长信号傅里叶变换的存在。1()()tftfte110()()jtFftedt若绝对可积，则存在傅里叶变换1()ft0()tjtfteedt()0()jtftedt0()stftedtsj0()()stFsftedt单边拉氏变换()()stBFsftedt双边拉氏变换()ftte考虑在上乘以收敛因子。0在上，只有在时才起收敛作用，且越大，收敛效果越明显。te0t111()()()2tjtftfteFed2.拉氏逆变换1()()tftfte0101()()()()stjtFsftedtftedtF()11()()2jtftFed()11()()2jjtjFedjj1()2jstjFsedsj0-1()[()]()1()[()]()2stjstjFsftftedtftFsFsedsjLL()Fs象函数)(tf原函数（3）随时间成正比增长或随成正比增长的信号nttlim0,ttte0必须有lim0,nttte（4）按指数阶规律增长的信号te()limlim0ttttteee（5）对于一些比指数函数增长更快的函数，如，不能进行拉氏变换。2te00，收敛域为右半平面s0，收敛域为（四）常用函数的拉氏变换()t1s整个平面()ut1s0()teut1s()tut21s00sin()()tut0220s00cos()()tut220ss00sin()()tetut0220()s0cos()()tetut220()ssaseasdtedteesFtuetastasstatat1|1)()(0)()(0022221121)()(21)(cos1121)()(21)(sinssjsjstueettusjsjsjtueejttutjtjtjtj3222)(,1)(stutsttustudtettLst1)(,1)()]([0§4.3拉氏变换的基本性质（一）线性1122()(),()()ftFsftFs若11221122()()()()KftKftKFsKFs则（二）时域微分特性()()ftFs若222()()(0)(0)dftsFssffdt()()(0)dftsFsfdt则dttdiLtvLL)()(()()(0)LLLVssLIsLi例1：sL-++IL(s)VL(s))0(LLi_22)11(21)()(21)(cosssjsjstueettutjtj例：（三）时域积分特性()()ftFs若011()()()tfdFsfdss则例：tCCdiCtv)(1)(011()()()CCCVsIsidsCsC11()()(0)CCCVsIsvsCs+-Ic(s)Vc(s)+-)0(1CvssC1例2：求)]([cos],[cos),(cos,cos0000tutdtdtdtdtutt的拉氏变换。例1：求的拉氏变换。10()sin[()]fttt10()sin[()]fttt100222211cos()sin()()sFsss011221()stFses1100()sin[()]()ftttutt0101cos()sin()sin()cos()tt()ftt01()ft0t0t（四）延时特性（时域平移）()()()ftutFs若000()()()stfttutteFs则×10sin()t010t（五）s域平移()()ftFs若()()tfteFs则例：21(),tuts()tteut21()s（六）尺度变换()()ftFs若1()()(0)sfatFaaa则例2：求)2(),1(),1()1(,1,1),1()1(tuettututtttutt的拉氏变换。例3：书P255,4-19)5(tutet例：已知)]()([,0,0),()]([batubatfLbasFtfL求若absabssbeasFaabtauabtafLbatubatfLasFaatuatfLeasFabatubatfLesFbtubtfL)(1)]([)]([)]()([)(1)]()([)(1)]()([)()]()([由延时性质得：由尺度性质得：方法二：再由尺度性质得：由延时性质得：方法一：15（七）初值定理)(lim)0()(lim0ssFftfst（八）终值定理)(lim)()(lim0ssFftfst应用条件：真分式1(0)lim()sfsFs的全部极点在左半平面，允许在处有一阶极点，以保证终值存在。()Fss0s为真分式()Fs应用条件：1()()()FsMsFs否则s的多项式12231)(2sssssF例1：,1212)(223ssssssF求)0(f232(0)lim21ssfsss3例2：，求222)(2ssssF)(),0(ff2222lim)(lim)0(22sssssFfss0222lim)(lim)(2200sssssFfss（九）卷积定理则1212()()()()()()ftutftutFsFs时域卷积定理12121()()[()()]2ftftFsFsj1122()(),()()ftFsftFs若s域卷积定理（十）s域微分与积分()()ftFs若则()()dtftFsds()()sftFdt0[sin()()]ttutL022202()ss22002220[cos()()]()sttutsL例：0220[]ddss§4.4拉普拉斯逆变换◆部分分式展开法：()Fs仅适用于为有理分式情况◆围线积分法（留数法）：严密的数学方法部分分式展开法：110110()()()mmmmnnnasasaAsFsBssbsb11012()()()()mmmmnasasaFsspspspnppp,,,21的“极点”。)(sF称为分子多项式也可以表示为A(s)=(s-z1)(s-z2)…(s-zm)式中,z1,z2,…,zm是A(s)=0方程式的根，也称F(s)的零点。部分分式法的实质是利用拉氏变换的线性特性，先将F(s)分解为若干简单函数之和，再分别对这些简单象函数求原函数。p1,p2,…,pn既可以是各不相同的单极点，也可能出现有相同的极点即有重极点；分母多项式的阶次一般高于分子多项式(mn)，但也有可能m≥n。20例1：322597()32sssFsss32(1)(2)ssss)()2()(2)()(2tueetttftt21212ssss的多项式当时，mn1()()()FsMsFs一、二、nm1212()ininKKKKFsspspspsp（1）所有极点均为一阶实极点1212(),0inptptptptinftKeKeKeKetipsiisFpsK)()(系数例2：251()2sFsss51(1)(2)sss2312ss2()23,0ttfteetiinipsk1（2）一阶共轭极点例3：)2)(52(3)(22sssssF12275225KsKsss22127(25)()(2)35ssKsKss12252KK2272255()2(1)2sFsss22724(1)25552(1)2sss2724()cos(2)sin(2)555tttfteetet272cos(2)2sin(2),055tteettt系数平衡法22221121)()(21)(cos1121)()(21)(sinssjsjstueettusjsjsjtueejttutjtjtjtj2222)()(cos)()(sinasasttueasttueatat3.mn,F(s)设)()()()()()(1sDpssBsAsBsFk其中,s=p1是F(s)的k阶极点,由F(s))()()()()(111112111sDsEpskpskpsksFkkk式中,是展开式中与极点p1无关的部分。)()(sDsE25k11=(s-p1)kF(s)|s=p11|)(112pssFdsdk1|)(2121213psdssFdk1|)()!1(11111psiiidssFdik可求得：例4：22()(1)sFsss1222(1)1KKsss21212(1)(1)ssKsss212sdsKdss2322(1)1sss()322,0ttftteet3,210()()ftftt例5：2212()sseeFss()()2(1)(1)(2)(2)fttuttuttut01()()stFsFse※()ftt011212sss二阶常系数线性微分方程的一般形式为)()()()()()(212202122tfbtfdtdbtfdtdbtyatydtdatydtd设f(t)