复数典型例题原..

[例1]当m为何实数时，复数immmmmz)103(25232222；（1）是实数；（2）是虚数；（3）是纯虚数。解：（1）z为实数，则虚部01032mm，即025010322mmm解得m=2∴m=2时，z为实数（2）z为虚数，则虚部01032mm，即025010322mmm解得2m且5m（3）z为纯虚数02501030232222mmmmm解得21m∴当21m时，z为纯虚数[例3]求同时满足下列条件的所有复数z：（1）zz10是实数，且6101zz。（2）z的实部和虚部都是整数。解：设Rbabiaz,(且)022ba则22)(101010babiabiabiabiazzibabbaa)101()101(2222由（1）知zz10是实数，且6101zz∴0)101(22bab即0b或1022ba又6)101(122baa当b=0时，*化为6101aa无解。当1022ba时，*化为621a∴321a由（2）知3,2,1a∴相应的3b，6（舍），1因此，复数z为：i31或i3[例4]设复数1||iz，且0z，iz2。又复数w使ziziww22为实数，问复数w在复平面上所对应的点Z的集合是什么图形，并说明理由。分析与解答：设biaz，),,,(Ryxbayixw由题0z，iz2且1||iz∴0a，0b且0222bba记ziziwwu22biaibiaiyixyix22222222222)2()2(2)2(baaibbayxxiyyx2222222)2(2)2(baaiyxxiyyx已知u为实数∴02)2(2222222baayxyyx∵0a∴0222yyx即1)1(22yx∴w在复平面上所对应的点Z的集合是以（0，1）为圆心，1为半径的圆又∵02iw∴除去（0，2）点。[例5]设虚数21,zz，满足221zz（1）若21,zz又是一个实系数一元二次方程的两根，求21,zz。（2）若miz11（i为虚数单位，Rm），2||1z，复数32zw，求||w的取值范围。解：（1）∵21,zz是一个实系数一元二次方程的两个虚根，因此必共轭，可设Rbabiaz,(1且)0b，则biaz2由221zz得biabia2)(即：biaabiba222根据复数相等，bababa222∵0b解得2321ba或2321ba∴iziz2321232121或iziz2321232121（2）由于mizzz1,1221，32zw∴mimmiw243)1(22∴12)2(4)4(||22222mmmw由于2||1z且0m，可解得102m，令um2，12)2(||2uw在]1,0(u上，12)2(2u是减函数∴)4,13[||w[例6]已知复数z满足izizz31)3(，求z。方法一：设),(Ryxyixz，则)3(1])(3[22iyixiyx即ixiyyx313322由复数相等得331322xyyx解得01yx或31yx∴1z或iz31方法二：∵)3(1)3(izizz∴izizz331即Rziz)1(31||2∴1z是纯虚数或0可令)(1Raaiz则iaiia31)33(12即032aa∴0a或3a故1z或iz31[例7]已知复数z满足1||z且0212zzz，求z的值。解：设),(Ryxyixz，由已知得122yx（1）∵zzz212)(21)(2yixyixyixiyxyxyx)2()3(22依题意得)3(02)2(0322yxyxyx由（3）得0y或21x（1）当0y时，由（1）知1x但1x与（2）矛盾∴1x，即11z（2）当21x时，由（1）得23y把y值代入（2）均成立综上可知：11ziz23212，iz23213[例8]设ba,为共轭复数，且iabiba643)(2，求a和b。解：∵ba,为共轭复数∴设),(Ryxyixa则yixb由iabiba643)(2得iiyxx64)(3)2(222，即6)(344222yxx∴1122yx∴11yx∴ia1，ib1；ia1，ib1；ia1，ib1；ia1，ib1。[例9]已知关于x的方程)(09)6(2Raaixix有实数根b。（1）求实数ba,的值；（2）若复数z满足0||2||zbiaz，当z为何值时||z有最小值，并求出||z的最小值。解：（1）∵b是方程)(09)6(2Raaixix的实根∴0)()96(2ibabb∴00962babb∴3ba（2）设),(Ryxyixz∵0||2|33|ziz∴||2|33|yixiyix即)(4)3()3(2222yxyx整理，得8)1()1(22yx∴复数z对应点的轨迹是以)1,1(1O为圆心，以22为半径的圆。如图所示连结圆心1O和原点O，并延长交圆1O于点P，当复数z为点P对应的复数时,||z最小可求得)1,1(P∴iz1,2||minz【模拟试题】1.已知关于x的实系数方程044222aaaxx的两虚根为21,xx,且3||||21xx，则a的值为。2.已知iyyix)3()12(，其中Ryx,，求x=，y=。3.200532iiii。4.已知Rtyx,,，1t且0t，求满足ittttyix)1(1时，点),(yx的轨迹方程。5.计算（1）)34)(7()26)(4(1175iiii（2）745)11()11()22(1iiiii（3）812)3122()2123(iii6.计算：（1）2219)21()5(32132iiii（2）54)31()22(ii7.设i2321，计算：)1)(1(22【试题答案】1.212.25；43.i4.1xy5.解析：（1）原式=)34)(7()3)(4(2iiii)321428()4312(222iiiiii)1(25)711(2iii3947（2）745)11()11()22(1iiiii722225])1(1[)1(])1[()2(iiiiiii41)1(216i)1216()41216(（3）812)3122()2123(iii81212]23211[)2123()(iiii334212])2321[()2321(])1[()2321(iiii)388(])2321[(43iiii38738816.解析：（1）2219)21()5(32132iiii112244])21[(])(5[321)321(iiiiiiiiiii5511（2）令i2321，则13，于是525544542)2()2321(2)1(2)31()22(iiiiii312267.解析：因为i2321所以012，13从而21，21所以，原式44)2)(2(322010年高考数学选择题试题分类汇编——复数（2010湖南文数）1.复数21i等于A.1+IB.1-iC.-1+iD.-1-i（2010浙江理数）（5）对任意复数i,Rzxyxy，i为虚数单位，则下列结论正确的是（A）2zzy（B）222zxy（C）2zzx（D）zxy解析：可对选项逐个检查，A项，yzz2，故A错，B项，xyiyxz2222，故B错，C项，yzz2，故C错，D项正确。本题主要考察了复数的四则运算、共轭复数及其几何意义，属中档题（2010全国卷2理数）（1）复数231ii（A）34i（B）34i（C）34i（D）34i【答案】A【命题意图】本试题主要考查复数的运算.【解析】231ii22(3)(1)(12)342iiii.（2010陕西文数）2.复数z=1ii在复平面上对应的点位于[A](A)第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限解析：本题考查复数的运算及几何意义1iiiii21212)1(，所以点（)21,21位于第一象限（2010辽宁理数）(2)设a,b为实数，若复数11+2iiabi，则（A）31,22ab(B)3,1ab(C)13,22ab(D)1,3ab【答案】A【命题立意】本题考查了复数相等的概念及有关运算，考查了同学们的计算能力。【解析】由121iiabi可得12()()iababi，所以12abab，解得32a，12b，故选A。（2010江西理数）1.已知（x+i）（1-i）=y，则实数x，y分别为（）A.x=-1，y=1B.x=-1，y=2C.x=1，y=1D.x=1，y=2【答案】D【解析】考查复数的乘法运算。可采用展开计算的方法，得2()(1)xixiy，没有虚部，x=1,y=2.（2010安徽文数）(2)已知21i，则i(13i)=(A)3i(B)3i(C)3i(D)3i2.B【解析】(13)3iii，选B.【方法总结】直接乘开，用21i代换即可.（2010浙江文数）3.设i为虚数单位，则51ii(A)-2-3i(B)-2+3i(C)2-3i(D)2+3i解析：选C，本题主要考察了复数代数形式的四则运算，属容易题（2010山东文数）（2）已知2,aibiabRi，其中i为虚数单位，则abA.1B.1C.2D.3答案：B（2010北京文数）⑵在复平面内，复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是（A）4+8i(B)8+2i（C）2+4i(D)4+i答案：C（2010四川理数）（1）i是虚数单位，计算i＋i2＋i3＝（A）－1（B）1（C）i（D）i解析：由复数性质知：i2＝－1故i＋i2＋i3＝i＋(－1)＋(－i)＝－1答案：A（2010天津文数）(1)i是虚数单位，复数31ii=(A)1+2i(B)2+4i(C)-1-2i(D)2-i【答案】A【解析】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题。进行复数的除法的运算需要份子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将i2改为-1.331+24121-(1-)(1+)2iiiiiiii（）()【温馨提示】近几年天津卷每年都有一道关于复数基本运算的小题，运算时要细心，不要失分哦。（2010天津理数）（1）i是虚数单位，复数1312ii(A)1＋i(B)5＋5i(C)-5-5i(D)-1－i【答案】A【解析】本题主