高等数学-向量代数和空间解析几何-习题课-课件

习题课向量代数与空间解析几何一、主要内容（一）向量代数（二）空间解析几何向量的线性运算向量的表示法向量积数量积混合积向量的积向量概念（一）向量代数1、向量的概念向量的模、单位向量、零向量、自由向量、相等向量、负向量、平行向量、向径.2、向量的线性运算加、减、数乘3、向量的表示法向量的分解式：在三个坐标轴上的分向量：向量的坐标表示式：向量的坐标：模、方向余弦的坐标表示式4、数量积、向量积、混合积各种积的坐标表达式两向量平行、垂直的条件直线曲面曲线平面参数方程旋转曲面柱面二次曲面一般方程参数方程一般方程对称式方程点法式方程一般方程空间直角坐标系（二）空间解析几何1、空间直角坐标系2、曲面旋转曲面、柱面、二次曲面3、空间曲线4、平面5、空间直线线面关系、线线关系、夹角、点到线面的距离空间平面一般式点法式截距式0DCzByAx)0(222CBA1czbyax三点式0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx1.空间直线与平面的方程),,(:000zyx点0)()()(000zzCyyBxxA),,(:CBAn法向量为直线的方向向量.空间直线一般式对称式参数式0022221111DzCyBxADzCyBxAtpzztnyytmxx000pzznyymxx000),,(000zyx),,(pnms为直线上一点;面与面的关系0212121CCBBAA212121CCBBAA平面平面垂直:平行:夹角公式:2.线面之间的相互关系),,(,0:111111111CBAnDzCyBxA),,(,0:222222222CBAnDzCyBxA021nn021nn2121θcosnnnn,1111111pzznyymxxL：直线0212121ppnnmm,2222222pzznyymxxL：212121ppnnmm线与线的关系直线垂直:平行:夹角公式:),,(1111pnms),,(2222pnms021ss021ss2121cosssssCpBnAm平面:垂直：平行：夹角公式：0CpBnAm面与线间的关系直线:),,(,0CBAnDCzByAx),,(,pnmspzznyymxx0ns0nsnsnssin3.相关的几个问题(1)过直线00:22221111DzCyBxADzCyBxAL的平面束)(1111DzCyBxA0)(2222DzCyBxA方程0,21不全为12(2)点的距离为DzCyBxA000222CBA到平面：Ax+By+Cz+D=0),,(0000zyxMd0M1MnnnMMd01kji),,(0000zyxM到直线的距离pzznyymxxL111:为(3)点2221pnm010101zzyyxxpnmdssMMd10),,(pnms),,(1111zyxM),,(0000zyxML二、典型例题例解共面．且，使，求一单位向量，已知bancnnkjickjbia,,,22,2000,0kzjyixn设由题设条件得10ncn0ban0020221222zyzyxzyx解得).323132(0kjin例已知2,,ADBbACaAB证明①2||2||||bbabaBAD的面积②的面积最大的夹角为何值时，当BADba,证①ADCBBDADSBAD21sin||cos||21aa2sin||412a而cos||||||babasin||||||baba2||2||||bbaba222||2sincos||||bba2sin||412a2||2||||bbabaSBAD②因2cos||212adds令0dds得唯一驻点)2,0(4而424222sin||adsd0||2a4时BADS面积最大)||41(2a例设)27()4(,)57()3(babababa求的夹角与ba解由题设知0)57()3(baba0)27()4(baba0||1516||722bbaa0||830||722bbaa两式相减得2||2346bba2||21bba代入前式有||||ba故||||),cos(bababa21||2||ab321arccos),(ba例已知向量2,1,2,3,2,1,1,3,2cba求与ba,同时垂直，且在c上投影为1的向量v解由于v同时垂直于ba,bav//而321132kjibakji57故可设)(batvttt,5,7tttcv2514t21而3||c故||Pr1ccvvjct771t故，所求向量为71,75,1v例解.401284,0405:角的平面方程组成且与平面求过直线zyxzxzyx过已知直线的平面束方程为,0)4(5zxzyx,04)1(5)1(zyx即}.1,5,1{n其法向量}.8,4,1{n又已知平面的法向量由题设知114cosnnnn222222)1(5)1()8()4(1)8()1()4(51)1(,2723222即由此解得.43代回平面束方程为.012720zyx例解.1243:,12:)1,1,1(210LxzxyLxzxyLM都相交的直线且与两直线求过点将两已知直线方程化为参数方程为1243:,12:21tztytxLtztytxL的交点分别为与设所求直线21,LLL).12,43,()1,2,(222111tttBtttA和,,)1,1,1(0三点共线与BAM).(00为实数故BMAM即有,,00对应坐标成比例于是BMAM,1)12(1)1(1)43(1211212121tttttt,0,021tt解之得)3,2,2(),1,0,0(BA,)3,2,2()1,1,1(0上同在直线和点LBM的方程为故L.211111zyx例求过点)4,0,1(且平行于平面01043zyx又与直线21311zyx相交的直线方程解设所求直线的方向数为pnm,,则直线方程为pznymx41化成参数方程，有mtx1ntyptz4代入已知直线方程，得24131ptntmt102,3ntptntmt又所求直线与已知平面平行ns043pnm（两边同乘以）t解得28,19,16ptntmt直线方程为28419161zyx例解.02:01012:上的投影直线的方程在平面求直线zyxzyxzyxL的平面束方程为过直线L,0)1()12(zyxzyx.0)1()1()1()2(zyx即L,014即41故,代入平面束方程将.013zyx得所求投影直线方程为.02013zyxzyx,垂直于平面又.0)1()1(2)1(1)2(例过点作一直线，使和z轴相交，且)3,2,1(B和直线垂直，求其方程22334zyx[分析]求直线方程，或者求出直线所在的平面得交面式方程，或者求出直线上一点及方向向量得点向式方程，或者求出直线上的两点得两点式方程解一用交面式直线过点B且与L垂直L故直线在过B且与L垂直的平面内1LoxyzLLB2,3,41n0)3(2)2(3)1(4:1zyx即08234zyx又过B且与z轴相交L故在由B及z轴所组成的平面内2LkOBn2100321kji0,1,20)2()1(2:2yx即02yx所求直线方程为08234zyx02yx解二用点向式已知过B，故只须求出其方向向量Ls而LL故ss又过B且与z轴相交，L即在由B及z轴所组成的平面内L亦即共面kOBs,,0)(kOBs)(kOBs)(kOBss012234kji1,2,12所求直线方程为112211zyx解三用两点式已知过B，故只须求出第二个点L又与z轴相交，可设法求出这个交点L过B作平面，使得11L0)3(2)2(3)1(4:1zyx即08234zyx求出z轴与的交点1将代入，有0,0yx交点为)4,0,0(而在上又和z轴相交，L1现与z轴只有唯一的交点1oxyzLLB故即为与z轴的交点)4,0,0(L434020010:zyxL即1421zyx思考与练习,2)1(2xy抛物柱面0z平面;1224zyx及P338题21画出下列各曲面所围图形:,1)2(2zx抛物柱面;10,0yxzy及平面,,)4(222xyzyx柱面旋转抛物面0z平面.1x及P338题21(1)解答:xyzoxy220z1224zyx)0,1,2()0,2,8(4xyzo2xyz1111xyzP33821(2)1111ozx121yx0y0z1)1,1()1,1(zxyozyx22xy20z1xP33821(4)241312zyx练1.求直线与平面062zyx的交点.提示:化直线方程为参数方程代入平面方程得1t从而确定交点为（1，2，2）.tztytx2432t练2.求过点(2,1,3)且与直线12131zyx垂直相交的直线方程.提示:先求二直线交点P.0)3()1(2)2(3zyx化已知直线方程为参数方程,代入①式,可得交点),,(7371372P最后利用两点式得所求直线方程431122zyx的平面的法向量为故其方程为①),,(312),,(011),,(123过已知点且垂直于已知直线,)1,2,3(P练3.求直线0101zyxzyx在平面上的投影直线方程.提示：过已知直线的平面束方程从中选择01)1(1)1(1)1(得001zyxzy这是投影平面0)1()1()1()1(zyx0)1(1zyxzyx即0zyx使其与已知平面垂直：从而得投影直线方程,1练4.设一平面平行于已知直线0502zyxzx且垂直于已知平面,0347zyx求该平面法线的的方向余弦.提示:已知平面的法向量求出已知直线的方向向量取所求平面的法向量,513cos504cos,505cos1n