学而思内部资料-高中数学函数分类解析讲义

1函数常见题型、解题方法六大基础函数抽象函数复合函数三要素解析式值域定义域正比例函数反比例函数一次函数二次函数指数函数对数函数xgf性质周期性对称性奇偶性单调性图像对称旋转平移图象变换函数本身的图象基本题型一、定义域相关的基本题型两类：1.给定函数式，在函数式当中有些限定性的条件：1、存在，2、对数log要求大于零，3、分母不能为零）。2.复合函数求定义域的问题。如21xtfxgf和，首先就要求其中21xtxg和必须符合xf的定义域的要求；其次我们才去看21xx和各自要按照哪个函数要求去求定义域，1x需要符合函数xg的定义域要求，2x需要符合函数xt的定义域要求。其实就是两点：首先，只要是同一函数对应法则，括号内的式子的范围都是一样的。第二点就是求定义域，是求最核心的自变量x的范围。（考察常见函数的定义域）例1.函数2log2yx的定义域是()（A）(3,+∞)（B）[3,+∞)（C）(4,+∞)（D）[4,+∞)命题意图:本题主要考查含有无理式和对数的函数的定义域的求法.2解：由204.log20xxx，故选D.（复合函数的定义域）例2．⑴函数的定义域是[0，1]，求的定义域；-----函数的定义域[0，]．⑵的定义域是[-1，1]，求函数的定义域；的定义域是[-3，1]．⑶知定义域是，求定义域．--------的定义域是[1，）．说明：①已知的定义域为(a,b)，求的定义域的方法：已知的定义域为，求的定义域。实际上是。通过解不等式求得的范围，即为的定义域。②已知的定义域为(a,b)，求的定义域的方法：若已知的定义域为，求的定义域。实际上是已知直接变量的取值范围，即。先利用求得的范围，则的范围即是的定义域。例3．已知函数定义域是（a,b），求的定义域．解：由题，，，当，即时，不表示函数；当，即时，表示函数，其定义域为．3二、值域相关的基本题型1.2.二次函数的值域问题。简单的二次函数，就可以通过顶点和最值等来求值域。困难的地方在于函数有参数的问题。图像法。3.换元法（也是最常用的方法），转换成二次函数。这种题的特点是，题目中的自变量的次数关系是倍半关系，如22,1,1,xxxx，都可以利用换元的方法把题目转换成上面第一类的问题。3.利用函数的单调性求值域。4.对勾函数。但是均值不等式适用的范围比较窄，且函数的形式也是比较固定的。一般来说都是函数带有分母的。如1111xxyxxy或者等这样的形式可以利用均值不等式。三、求解析式（方法比较少，考得也不多）1.配和凑利用它的形式，凑出2kf这样的形式，这要求学生做题目比较有感觉。2.待定系数法。即设cbxaxxf2，再利用已知条件把cba,,的取值确定。一、定义法：例1：设23)1(2xxxf，求)(xf.解：2]1)1[(3]1)1[(23)1(22xxxxxf=6)1(5)1(2xx65)(2xxxf二、待定系数法：例5：已知1392)2(2xxxf，求)(xf.解：显然，)(xf是一个一元二次函数。设)0()(2acbxaxxf则cxbxaxf)2()2()2(2)24()4(2cbaxabax又1392)2(2xxxf比较系数得：1324942cbaaba解得：312cba32)(2xxxf4三、换元（或代换）法：例6：已知,11)1(22xxxxxf求)(xf.解：设,1txx则11tx则xxxxxxxftf11111)1()(2221)1()1(1111)11(11222tttttt1)(2xxxf四、单调性、周期性、奇偶性、对称性例1．函数fx对于任意实数x满足条件12fxfx，若15,f则5ff__________.命题意图:本题主要考查代数式恒等变形和求复合函数的值的能力.解：由12fxfx,得14()2fxfxfx，所以(5)(1)5ff，则115(5)(1)(12)5fffff.例2．已知函数1,1xfxaz，若fx为奇函数，则a________.命题意图:本题主要考查函数的解析式的求解以及函数的奇偶性应用.常规解法：由f(x)为奇函数,所以f(x)+f(-x)=0,即,0121121xxaa.2112212112112121xxxxa应填21.巧妙解法：因为f(x)为奇函数,所以f(0)=0,即.21,01210aa应填21.五、函数图像问题5例1：若方程ax2-2x+1=0(a0)的两根满足：x11,1x23,求a的取值范围.分析：由一元二次方程联想到一元二次函数，利用函数解决方程问题比较方便，一元二次方程的根和一元二次函数与x轴的交点情况有关系.略解：令y=ax2-2x+1,从图象可以得到，解次不等式组就可以求出a的范围来（a0）.例2．已知.|1|)(22kxxxxf（Ⅰ）若k=2，求方程0)(xf的解；（Ⅱ）若关于x的方程0)(xf在（0，2）上有两个解x1，x2，求k的取值范围，并证明.41121xx（I）解：当.02|1|)(,222xxxxfk时分两种情况讨论：①当时或即时11,112xxx，方程化为,01222xx131313.01,,.222xx解得因为舍去所以②当11,012xx即时，方程化为1+2x=0，解得21x，由①②得，.21,2310)(,2xxxfk或的解是方程时当（II）解：不妨设2021xx，因为,1||,1,1||,12)(2xkxxkxxxf所以1,0)(在xf是单调递函数，故1,00)(在xf上至多一个解，121212112221,(1,2),0,,,0,1,(1,2).21()0,,1;17()0,2,1.271,()0(0,2).2xxxxxxfxkkxfxkxkxkfx若则故不符合题意因此由得所以由得所以故当时在上有两个解方法一：62211222221222212180,1,,210;48(1,2),,41141(8),287778(,1),8()88,222114.kkxxxkxkkkxxkkkxxkkykkkkxx因为所以而方程的两根是因为所以则而在上是减函数则因此方法二：因为01,1,011kxx所以；①因为012),2,1(2222kxxx所以，②由①②消去k，得21212221212111120,2.(1,2),4.xxxxxxxxxx即又因为所以5．在同一坐标系中，函数3logyx与13logyx的图象之间的关系是（B）A．关于y轴对称B．关于x轴对称C．关于原点对称D．关于直线yx对称7．设a为常数，函数2()43fxxx，若()fxa为偶函数，则a等于（C）A．1B．1C．2D．28．已知函数()213fxaxa在(01)，内存在一个零点，则实数a的取值范围是（A）A．113aB．13aC．1a或13aD1a9．已知函数()()()fxxaxb（其中ab），若()fx的图象如右图所示，则函数()xgxab的图象是（A）10．设定义在R上的函数()yfx是偶函数，且()fx在(0)，为增函数，(1)0f，则不等式()0xfx的解集为（D）A．(10)(1)，，B．101，，C．10，D．[10]1，，六、令值题Oyx11xyO1xyO1xyOABCDyxO-117例题6．设函数y=f(x)(x∈R且x≠0)对任意非零实数x1,x2恒有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)。(1)求证：f(1)=f(-1)=0。(2)求证：y=f(x)是偶函数；(3)已知f(x)为(0,+∞)上的增函数，求适合f(x)+f(x-)≤0的x的取值范围。证明：(1)∵f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)(x1·x2≠0)，令x1=x2=1,∴f(1)=f(1)+f(1)=2f(1),∴f(1)=0,又令x1=x2=-1,得f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)=0,∴f(-1)=0。(2)令x1=-1,x2=x≠0,x是任意的，则有f(-x)=f(-1)+f(x)=f(x),∴f(x)为偶函数。(3)∵f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)(x1·x2≠0)，∴f(x)+f(x-)=f(x2-x)。又∵f(x)+f(x-)≤0,∴f(x2-x)≤0。∵f(x)为偶函数且f(1)=0,∴f(|x2-x|)≤f(1)。∵f(x)在(0,+∞)上是增函数，∴解得≤x≤，且x≠0,x≠。20．（本小题满分10分）已知函数221(0,xxyaaa且1)a在区间1,1上的最大值是7，求a的值解:设xta,则22()2t-1=(t+1)2yftt...............2分（1）当01a时，11x，1ata此时，ft（）在1[,]aa上是增函数................................4分max2112()80yfaaa,122,4aa或(舍)1a=2............................................................................6分（2）当1a时，11x，1taa此时，ft（）在1[,]aa上是增函数2max(a)a2a80yf.............8分a2,a4或,(舍)...................9分8综上所述:a=2.或1a=2...........................................................................10分指数函数，对数函数，幂函数性质1、比较大小（单调性、有界性、图像法）【例1】2011重庆文6．设11333124log,log,log,,,233abcabc则的大小关系是AA．abcB．cbaC．bacD．bca【练习】（1）若55ln,33ln,22lncba，则(C)A．cbaB．abcC．bacD．cab【例2】设54.04.0,2,4.0lgcba,则（B）（A）c＞b＞a（B）b＞c＞a（C）a＞c＞b（D）a＞b＞c（3）若,ln,ln2,ln),1,(31xxxexcba则（C）（A）cba（B）bac（C）cab（D）acb【例3】2013（8）设14710563log,log,logcba,则（D）同真数（A）c＞b＞a（B）b＞c＞a（C）a＞c＞b（D）a＞b＞c数学是很神奇的---数字黑洞。任取一个数，数出这个数中的偶数个数，奇数个数，及所有数字的个数，可以得到235，在重复一次，即可得到123.2、定点问题函数)1()(322amaxfxx恒过点（1,10），则._________m函数)0,0(,2)1(log)(aaxxfa恒过点__________.3、复合函数求值域函数的值域为（A）A.B.C.D.4、零点问题已知函数lg,010,16,02xxfxxx