江苏大学近世代数题库

近世代数题库：一、填空题：1、设集合A有一个分类，其中iA与jA是A的两个类，如果jiAA，那么jiAA。2、群的单位元是的，每个元素的逆元素是的。3、若a,b∈G;m,n∈Z,且（ab）n=anbn,则G为。4、如果S=﹛a,b﹜,且a,b满足关系232;abebaab，列出群,ab的所有元素。5、凯莱定理说：每一个群都同一个同构。6、若映射既是单射又是满射，则称为。7、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则aff1。8、设是群G到G′的同构映射，且可逆，若a是G的任一元素，则1a=。9、已知群G中的元素a的阶等于50，则4a的阶等于。10、设群G中元素a的阶为m，如果ean，那么m与n存在整除关系为。11、设交换群G中a的阶是3,b的阶是4,则ab的阶是。12、在循环群G=a中若a的阶是一个有限整数n，那么G与同构。13、若群G=a是无限循环群，那么G与同构。14、求Z12的全部生成元，全部子群。15、每一个有限群都同构于一个。16、n次对称群nS的阶是。17、给出一个5轮换)31425(，那么1。18、设置换1212nnkkk，则对任一n阶置换有1。19、将下列轮换的乘积表示为不相交轮换的乘积（3654）（3241）（31524）=。20、已知4=（1437562），则=。21、整数加法群Z关于子群nZ的陪集为。22、设orda=30，则4a在a中的所有左陪集是。23、在Z12中，子群H=4中的所有左陪集是。24、H是群G一个子群,则H的右、左陪集的个数。25、设N是G的正规子群，商群NG中的单位元是。26、设G是一切非零实数所构成的乘法群，令同态映射：G→G′;x→x2,则Ker=。27、表示出Z20到Z8得所有同态映射。28、设集合1,0,1A；2,1B，则有AB。29、设1G和2G是两个群，且1G的阶为m,2G的阶为n,则12GG：①是交换群的充要条件是：；②是循环群的充要条件是：。30、设1Ga中a的阶为3，2Gb中b的阶为5，则12GG的阶为。31、96ZZ中9阶元素有个。二、判断题：1、若G为群，则在群中消去率成立。2、循环群是交换群。3、设G是一个具有乘法运算的非空有限集合，若G满足结合律且两个消去律成立，则G构成群。4、若H是群G的一个非空有限子集，且,abH都有abH成立，则H是G的一个子群。5、群G任意两个子群的交集还是G得子群。6、只要f是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射1f。7、设G是一个元素个数为n的有限群，则若a是G的任一元素，则orda︱n。8、如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群。9、每个置换都可以表示为对换的乘积，且对换个数的奇偶性唯一。10、当n﹥1时，在全体n阶置换中，奇置换和偶置换各有n!/2个。11、设A与B是群G的两个非空子集，且AB=AC，则B=C。12、设A与B是群G的两个非空子集，g是群G的一个元素，且gA=gb，则A=B。13、群G的子群H是不变子群的充要条件为1,;gGhHghgH。14、交换群的子群是正规子群。15、交换群的商群也是交换群。16、设f是群G到群G的同态映射，H是G的子群，则fH是G的子群。17、同构映射也称同态映射。18、设是群G到群G′的同态映射，则Ker是G的正规子群。三、证明题：1、设m使大于1的正整数，记U()(,)1mmaZam，证明U(m)是群。2、设G是群，证明：如果对任意的x∈G，都有x2=e，则G是一个交换群。3、设R使全体实数组成的加法群，R+表示全体正实数组成的加法群，证明：群R与R+同构。4、设H是G的子群，a,b∈G.证明：Ha=Hb的充要条件是ba-1∈H。5、设G为群，H是G的子群，若H在G中的指数为2，证明：H是G的正规子群。6、设G为群1H，2H是G的正规子群，证明：12HH，12HH都是G得正规子群。四、名词解释：1、等价关系：2、群的定义：3、子群的定义：4、同构映射的定义：5、置换群的定义：6、轮换的定义：7、左陪集的定义：8、正规子群的定义：9、商群的定义：10、同态映射的定义：11、核的定义：12、外直积和内直积的定义：13、环的定义：14、理想的定义：