第4章--斯特瓦尔特定理和应用

...WORD格式整理第四章特瓦尔特定理及应用【基础知识】斯特瓦尔特定理设P为ABC△的BC边上任一点（PB，PC），则有222ABPCACBPAPBCBPPCBC①或2222PCBPBPPCAPABACBCBCBCBCBC．②证明如图4-1，不失一般性，不妨设90APC∠，则由余弦定理，有图41PCBA2222cosACAPPCAPPCAPC∠，2222cos(180)ABAPBPAPBPAPC∠222cosAPBPAPBPAPC∠．对上述两式分别乘以BP，PC后相加整理，得①式或②式．斯特瓦尔特定理的逆定理设B，P，C依次分别为从A点引出的三条射线AB，AP，AC上的点，若22ABPCACBPAPBCBPPCBC，或2222PCBPBPPCAPABACBCBCBCBCBC，则B，P，C三点共线．证明令1BPA∠，2APC∠，对△ABP和△APC分别应用余弦定理，有22212cosABAPPBAPPB，22222cosACAPPCAPPC．将上述两式分别乘以PC，BP后相加，再与已知条件式相比较得122coscos0APBPPC，由此推出12180，即证．斯特瓦尔特定理的推广（1）设P为ABC△的BC边延长线上任一点，则2222PCBPPCBPAPABACBCBCBCBCBC．③（2）设P为ABC△的BC边反向延长线上任一点，则...WORD格式整理2222PCBPPCBPAPABACBCBCBCBCBC．④注若用有向线段表示，则②，③，④式是一致的．推论1设P为等腰ABC△的底边BC上任一点，则22APABBPPC．注此推论也可视为以A为圆心，AB为半径的圆中的圆幂定理．推论2设AP为ABC△的BC边上的中线，则2222111224APABACBC．推论3设AP为ABC△的A的内角平分线，则2APABACBPPC．推论4设AP为ABC△的A的外角平分线，则2APABACBPPC．推论5在ABC△中，若P分线段BC满足BPBC，则2222(1)(1)APBCABAC．注若BPkPC，则222221111kkAPABACBCkkk．【典型例题与基本方法】1．选择恰当的三角形及一边上的一点，是应用斯特瓦尔特定理的关键．例1如图4-2，凸四边形ABCD中，60ABC∠，90BADBCD∠∠，2AB，1CD，对角线AC，BD交于点O．求sinAOB∠．（1996年北京中学生竞赛题）DCBAPO图42解延长BA，CD相交于P，设BCx，则2PBx，3PCx，对△PBC及PB边上的点A，应用斯特瓦尔特定理，有222ABPACAPCBCABPAPBPB22222322222xxxxxx224xx．由RtRtADPCBP△∽△，有PDPCPAPB，即313222xxxx，求得43BCx．于是，21563CA．又在RtBCD△中，2212083BDx，从而BDAC...WORD格式整理4523352310312．而1332324322ABCDABDBCDSSS△△，故13310312sin22AOB∠，即1563sin26AOB∠为所求．例2如图4-3，在ABC△中，60A∠，ABAC，点O是外心，两条高BE，CF交于H点，点M，N分别在线段BH，HF上，且满足BMCN，求MHNHOH的值．（2002年全国高中联赛题）CBAEFHLSOT图43解延长BE交O于L，由三角形垂心性质，知L为H关于AC的对称点，则LCCH．设O的半径为R，OHd，CHx，BHy，由60CLBA∠=∠，知LHLCCHx．延长OH两端交O于T，S，如图4-3，由相交弦寇理有THHSBHHL，即RdRdxy，即22Rdxy．在△BCL及边BL上的点H，应用斯特瓦尔特定理，并注意到2sin3BCRAR∠，可得222BCLHLCBHLHBHBLCHBL，即2223Rxxyxyxyxxy，亦即22213Rxxyy．于是，有22213xxyydxy．亦即223xyd，即3xyd．而当ABAC时，MHNHBHBMCNCHBHCHyxxy，故3xyMHNHOHd为所求．2．注意斯特瓦尔特定理的推论的应用...WORD格式整理例3如图4-4，自O外一点引圆的两条切线PE，PF，E，F为切点，过P点任意引圆的割线交O于A，B，交EF于C．证明：211PCPAPB．（2001年湖南中学生夏令营试题）CBAEFP图44证明由相交弦定理，有ECCFACCB．由于PEPF，对等腰△PEF及底边EF上的点C，应用斯特瓦尔特定理的推论1，有22PCPEECCF，即有222PEPCECCFPCACCB2PCPCPAPBPC22PCPCPAPBPCPBPCPAPAPCPBPCPAPB．而2PEPAPB，从而2PAPBPAPCPBPC．故211PCPAPB．注此例结论表示线段PC是线段PA，PB的调和平均．这个结论亦即为点P、C调和分割弦AB．例4如图4-5，设在ABC△中，ABAC，AE平分A∠，且交BC于E，在BC上有一点S，使BSEC．求证：222ASAEABAC．（1979年江苏省竞赛题）CBASE图45证明对ABC△及边BC上的点S，应用斯特瓦尔特定理，有222SCBSASABACBSSCBCBC．由AE平分A∠，对ABC△及边BC上的点F，应用斯特瓦尔特定理的推论3，有2AEABAC...WORD格式整理BEEC，从而2222SCBSASAEABACABACBEECBSSCBCBC．①因BSEC，有BESC，即BEECBSSC．由角平分线的性质，有,BEABECACBCABACBCABAC，即,SCBEABBSECACBCBCABACBCBCABAC．从而，由①式，有222ASAEABAC．例5凸多边形ABCD外切于O，两组对边所在的直线分别交于点E、F，对角线交于点G．求证：DGEF⊥．（《中等数学》奥林匹克题高中251题）证明如图4-6，设O与边AB、BC、CD、DA分别切于点M、N、R、S，则由牛顿定理知，AC、BD、MR、NS四线共点于G．由切线长定理，知EMER．GSOMNRFEDCBA图46由推论1，有22EGFSMGGR．①同理，22FGFSSGGN．②联结MO、EO、SO，令O的半径为r，则22222EMOErFSOFr，．③又由相交弦定理，有MGGRSGGN．④于是，由①、②、③、④有2222EGEDFGFO．由定差幂线定理，知OGEF⊥．注（1）牛顿定理圆外切四边形的两条对角线、两对边切点的连线，这4条直线共点．（2）定差幂线定理设MN、PQ是两条线段，则MNPQ⊥的充要条件为2222PMPNQMQN．此定理可用勾股定理及逆定理证明．这个定理放到空间也是成立的．运用向量法可给出平面、空间的统一证明如下：由22222222PMQNPNQMPMQNPNQM...WORD格式整理2222PMPNPQPNPMPQ22222222PMPNPQPNPQPMPQPMPQPN2222PMPQPNPQPMPNPQNMPQ．知0NMPQNMPQ⊥．故2222MNPQPMPNOMQN⊥．例6已知E、F分剔是ABC△的边AB、AC的中点，CM、BN是边AB、AC上的高，联结EF、MN交于点P．又设Q、H分别是ABC△的外心、垂心，联结AP、OH．求证：APOH⊥．（2005年国家队集训题）证明如图4-7，联结AO、AH．设1O、1H分别为AO、AH的中点，则112HNAH，112HMAM，即知点1H在线段MN的中重线上，应用推论1，有H1O1POCBAEFHMN图472211HPHMMPPN．注意到EF为ABC△中位线，O在BC的中垂线上，由此知1O也在EF的中垂线上，应用推论1，有2211OPOEEPPF．再注意到ANMABCAEF∠∠∠，知M、E、N、F四点共圆，并由直角三角形性质，有MPPFEPPF．③及11OEOA、11HMHA．④由①、②、③、④得22221111HAHPOAOP．由定差幂线定理，11OHAP⊥．而1OHOH∥，故APOH⊥．...WORD格式整理注此例的其他证法可参见第九章例16、第十章例15．例7设D是ABC△的边BC上一点，满足CDACAB△∽△，O经过B、D两点，并分别与AB、AD交于E、F两点，BF、DE交于点G，联结AO、AG，取AG的中点M．求证：CMAO⊥．证明如图4-8，在AG的延长线上取点P，使得AGAPAFAD（即G、P、D、F四点共圆），则由AEABAFAD知E、B、P、G也四点共圆．于是180180BPABEDBFD∠∠∠BFA∠，知B、P、F、A四点共圆，即有2FGGBAGGPAFADAG．OMPGFEDCB图48联结OD、OF、OE，并令O半径为R，则对ODE△、ODF△分别应用推论1，有222OGODEGGDRFGGB．①2222OAODAFADRFGGBAG．②联结OM，由三角形中线长公式，并注意①、②，有222222211(22)44MOMAOAOGAGAGR．③联结OB、OC，对OBD△应用推论1，有222COOBCDCBRCDCB．又由CDACAB△∽△，有2CACDCB，即有222COCAR．④注P即为完全四边形的密克尔点，由③、④有2222MOMACOCA．由定差幂线定理，知CM⊥AO．3．注意斯特瓦尔特定理等价于托勒密定理斯特瓦尔特定理可推导出托勒密定理．证明如图4-9，在ABC△中，点P在BC上，由斯特瓦尔特定理，有CBAEP图49...WORD格式整理222APBCABPCACBPBPPCBC．延长AP交ABC△的外接圆于E，连BE，EC，由ABPCEP△∽△和ACPBEP△∽△，有ABAPCEAP，ACBPAPBE．又由相交弦定理，有BPPCAPPE．于是，得2APBCABCEAPACAPBEAPPEBC，即BCAPPEABCEACBE，亦即ABCEACBEBCAE．即为托勒密定理．由托勒密定理也可推导斯特瓦尔特定理．证明如图4-10，设圆内接四边形ABEC的对角线AE，BC交于P．由托勒密定理，有CBAEP图410ABECACBEBCAE．即ABECACBEBPPCAE．由△ABP∽△CEP和△ACP∽△BEP，有ABPCECAP，ACBPBEAP．由相交弦定理，有BPPCPEAP．将这些式子代入前述式子即得斯特瓦尔特定理．因此，在应用中，两个定理的应用范围相同，所显示的功能也一样，即凡能用托勒密定理处理的问题也能用斯特瓦尔特定理处理．反之亦然．例8若ABC△的三边为连续整数，且最大角B∠是最小角A∠的两倍，求三角形的三边长．（IMO-10试题）解法1作ABC∠的平分线BD（图略），则BDAD，令ADy，ABx，则1A