2019-2020年初中数学奥林匹克中的几何问题：第5章张角定理及应用初中数学

2019-2020年初中数学奥林匹克中的几何问题：第5章张角定理及应用初中数学【基础知识】张角定理设A，C，B顺次分别是平面内一点P所引三条射线PA，PC，PB上的点，线段AC，CB对点P的张角分别为，，且180，则A，C，B三点共线的充要条件是：sin()PCsinsinPBPA．证明如图5-1，A，C，B三点共线ABPACPCBPSSS△△△βαCBAP图5-1111sin()sinsin222PAPBPAPCPCPBsin()sinsinPCPBPA．推论在定理的条件下，且，即PC平分APB∠，则A，C，B三点共线的充要条件是：2cosPC11PBPA．注若规定角的绕向，逆时针方向为正，否则为负，则上述定理、推论中的点C可表示在AB的延长线上的情形．上述定理把平面几何和三角函数紧密相联，它给出了用三角法处理平面几何问题的一个颇为有用的公式．用它去解几何题，适当地配合三角形面积公式、正弦定理、三角公式、几何知识，可以大大简化解题步骤，众多的几何问题可以简捷地解决．【典型例题与基本方法】1．恰当地选择共一端点的两线段对同一视点的两张角，是应用张角定理的关键例1如图5-2，已知ABCD为四边形，两组对边延长后得交点E，F，对角线BDEF∥，AC的延长线交EF于G．求证：EGGF．（1978年全国竞赛题）ββαGFEDCBA图5-2证明以E为视点，令BEC∠，CEG∠，分别对B，C，F；A，D，F及A，C，G应用张角定理，得sin()sinsinECEFEB，①sin()sinsinEDEFEA，②sin()sinsinECEGEA．③又由BDEF∥，有BDE∠，在△BED中应用正弦定理，有sin()sinEDEB．由①②-③-④，得2sinsinEFEG，2EFEG，即EGGF．例2已知ABC△的顶点A，B，C对应的三边长分别为a，b，c，E为其内切圆圆心，AE交BC于D．求证：AEbcEDa．（1979年广东省竞赛题）证明如图5-3，连BE并延长交AC于F，令BAE∠，由于E为内心，则EAF∠．以A为视点，分别对B，E，F及B，D，C应用张角定理的推论，得FEDCBA图5-32cos11AEABAF，2cos11ADABAC．上述两式相除，得ACABAFADAEAFACAB，而1ADAEEDEDAEAEAE，从而ABACAFEDABCFAEAFACABAFABAC-．①又BF平分B∠，则ABAFBCCF，即ABBCAFCF．于是，由上式代入①式，得EDBCAEABAC，故AEbcEDa．例3如图5-4，在四边形ABCD中，对角线AC平分BAD∠．在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G．求证：GACEAC∠∠．（1999年全国高中联赛题）（G'）GFEDCBA图5-4证明作CAGCAE∠∠，交BC于G．只须证G，F，D三点共线，设BACCAD∠∠，CAGCAE∠∠．以A为视点，分别对B，F，E；B，G，C；C，E，D应用张角定理，有sinsinsinAFABAE，①sinsinsin()AGABAC-，②sinsinsin()AEADAC-，③由①-②③式，得sin()sinsinAFADAG．又以A为视点，对G，F，D应用张角定理，知G，F，D三点共线．由此，知G与G重合，故GACEAC∠∠．例4如图5-5，已知AM是ABC△的边BC上的中线，任作一直线顺次交AB，AC，AM于P，Q，N．求证：ABAP，AMAN，ACAQ成等差数列．（1979年辽宁省竞赛题）θβαCBAMNPQ图5-5证明令BAM∠，MAC∠，AMB∠．以A为视点，分别对P，N，Q及B，M，C应用张角定理，有sin()sinsinANAPAQ，①sin()sinsinAMABAC．②又在△ABM和△AMC中，由正弦定理，有sinsinABMB，sinsinACMC．注意到MBMC，上述两式相除得sinsinACAB．于是②式变为sin()2sin2sinAMABAC．由①式除以上式，得12AMABACANAPAQ．故ABAP，AMAN，ACAQ成等差数列．2．找准视点，寻找到与题设条件或结论有关的线段所在的三角形，是灵活应用张角定理的前提．例5如图5-6，圆的割线PAB通过圆心O，自P作圆的任一割线PCD交圆于C，D．又在圆上取一点E，使BEBD，连CE交AB于F．求证：211ABBPBF．54321FEDCBAP图5-6证明连AC，BC，令1ECB∠∠，2BCD∠∠，3ACE∠∠，4ACP∠∠，ACa，BCb．由BEBD，有12∠∠．连BD，由AEAD，有34ABD∠∠∠．以C为视点，考察线段AB，BP，BF所在的三角形ABC△和△PBC，分别应用张角定理，有sin90sin1sin3CFab∠∠，sin(904)sin4sin90abCP∠∠．即sin1sin3cos3sin3ababCFbaba∠∠∠∠，cos4sin4cos3sin3ababCPbaba--∠∠∠∠．由此，知cos3sin30ba-∠∠．在△CPB中，由余弦定理，得122222cos(903)cos3sin3cos3sin3ababBPbbaba---∠∠∠∠∠．因034180∠∠，则03490∠∠，即cos30∠．于是，12222222cos3cos3(cos3sin3)cos3sin3babbabBPbaba--∠∠∠∠∠∠．同理，在CFP△中，有22cos3cos3sin3babBFba∠∠∠．又在RtABC△中，22ABab，故222211ABBPBFab．注此例结论表示AB是BP与BF的调和平均，亦表示1PF调和分割弦AB．例6（第一章例12）任意四边形ABCD的一组对边BA与CD交于M，过M作割线交另一组对边所在直线于H、L，交对角线所在直线于H、L．求证：1111MHMLMHML．证明如图5-7，MBL∠，CML∠，BMC∠，L'H'DCBAMH图5-7由张角定理得：sin()sinsinMHMDMA，①sin()sinsinMHMCMA，②sin()sinsinMLMDMA，③sin()sinsinMLMCMB．④由①④-②-③得sin()sin()sin()sin()0MHMLMHML--，故1111MHMLMHHL．注此例也可运用线段的调和分割来证明，可参见第十一章例9．对于第十一章的例10，也可运用张角定理来证．请看下例：例7圆内接四边形ABCD一组对边DA、CB延长线交P点，过P点任作直线PF分别交圆于E、F，交AB、CD所在直线于N、M，求证：1111PEPFPNPM．证明设APM∠，BPM∠，并分别取AD、EF、BC中点R、G、H，如图5-8，显然P、R、G、H和圆心O五点共圆，由托勒密定理可知：PGRHRGPHPRGH．对△RGH三边用正弦定理代入得：sinsinsinPGPHPR，两边乘2，即sin()PEPFsinsinPBPCPAPD．又PEPFPBPCPAPD，则11sin()PEPF1111sinsinPBPCPAPD．由张角定理：sin()sinsinPNPBPA，sin()sinsinPMPCPD，因此1111PEPFPNPM．PONMRHGFEDCBA图5-8当PF与AB、DC的延长线相交同时与圆相交（或相切），如图5-9，例7仍然成立，证法相同．OPRMNKHGFEDCBA图5-9当PF与CA，BD相交或与它们的延长线相交，同时也与圆相交（或相切），例题7也成立，证法也相同．如图5-10，相切时11PEPF．FEDCBAMNOP图5-10例8圆内接ABC△，切线C点交BA的延长线于P，过P任作直线交圆于E、F，交AC、BC分别于N、M，求证：1111PEPFPNPM．证明设APM∠，MPC∠，并分别取AB、EF中点G、H，如图5-11，显然P、G、H、C和圆心O五点共圆，由托勒密定理可知PHGCGHPCPGHC，对△GHC三边用正弦定理代入得sinsinsinPHPCPG，两边乘2，即()sin()2sinPEPFPCsinPAPB．因为2PEPFPCPAPB，从而11211sin()sinPEPFPCPAPBsin．CBAEFGHMNOP图5-11由张角定理，sin()sinsinPNPCPA，sin()sinsinPMPCPB．因此1111PEPFPNPM．【解题思维策略分析】1．给出著名问题的一种新证法例9（斯坦纳定理）在ABC△中，BD，CE分别是ABC∠，ACB∠的平分线．若BDCE，则ABAC．证明如图5-12，令ABDDBC∠∠，BCEACE∠∠，分别以B，C为视点，对ABC△应用张角定理的推论，有2cos11BDABBC，2cos11CEACBC．βαβαEDCBA图5-12亦有2cos2cosABBCACBCBDCEABBCACBC，亦即coscosABACBCACABBC．对上式应用分比定理，把coscos-化为积，并变形可得2sinsincos22ACABBCABACBC---．①显然，，，均只能为锐角．若ABAC，则①式左端为正，而右端为负，若ABAC，则①式左端为负，而右端为正．所以ABAC．例10（蝴蝶定理）已知M是O的弦AB的中点，过M任作两弦CD，EF，连CF，DE分别交AB于G，H，则MHMG．证明如图5-13，令AMFBME∠∠，BMDAMC∠∠．以M为视点，对△MDE和△MCF分别应用张角定理，有βαG'H'QPOMHGFEDCBA图5-13sin()sinsinMHMEMD，sin()sinsinMGMFMC．上述两式相减，得11sinsinsin()MFMEMDMCMHMGMEMFMCMD----．设P，Q分别是CD，EF的中点，由OMAB⊥，有22cos(90)2sin,22cos(90)2sin.MDMCMPOMOMMFMEMQOMOM----于是，11sin0MHMG-．而180，知sin()0．故MHMG．注类似地应用张角定理，可证明如图5-8中的AGBH．2．获得线段倍分关系的一种途径例11已知G是ABC△的重心，过G作直线分别交ABC△的两边AB，AC于E，F．求证：2EGGF≤．证明如图5-14，作中线BGM，CGN，令MGFBGE∠∠，CGFNGE∠∠．βαGFECBAMN图5-14以G为视点，分别对△GCM，△BGN应用张角定理，有sin()sinsinGFMGGC，sin()EG