高中新课程数学(苏教)二轮复习精选第一部分 25个必考问题 专项突破《必考问题22 几何证明选讲》

必考问题22几何证明选讲返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛抓住命题方向返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛【真题体验】1．(2012·江苏，21A)如图，AB是圆O的直径，D，E为圆上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使BD＝DC，连接AC，AE，DE.求证：∠E＝∠C.返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛证明连接OD，因为BD＝DC，O为AB的中点，所以OD∥AC，于是∠ODB＝∠C.因为OB＝OD，所以∠ODB＝∠B于是∠B＝∠C.因为点A，E，B，D都在圆O上，且D，E为圆O上位于AB异侧的两点，所以∠E和∠B为同弧所对的圆周角，故∠E＝∠B.所以∠E＝∠C.返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛2．(2011·江苏，21A)如图，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2(r1＞r2)，圆O1的弦AB交圆O2于点C(O1不在AB上)．求证：AB∶AC为定值．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛证明如图，连接AO1并延长，分别交两圆于点E和点D.连接BD，CE.因为圆O1与圆O2内切于点A，所以点O2在AD上，故AD，AE分别为圆O1，圆O2的直径．从而∠ABD＝∠ACE＝π2.所以BD∥CE，于是ABAC＝ADAE＝2r12r2＝r1r2.所以AB∶AC为定值．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛3．(2010·江苏，21A)AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA＝DC，求证：AB＝2BC.解证明：连接OD，则：OD⊥DC，又OA＝OD，DA＝DC，所以∠DAO＝∠ODA＝∠DCO，∠DOC＝∠DAO＋∠ODA＝2∠DCO，所以∠DCO＝30°，∠DOC＝60°，所以OC＝2OD，即OB＝BC＝OD＝OA，所以AB＝2BC.返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛【高考定位】高考对本内容的考查主要有：(1)三角形及相似三角形的判定与性质；(2)圆的相交弦定理，切割线定理；(3)圆内接四边形的性质与判定；(4)相交弦定理，本内容考查属B级要求．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛【应对策略】三角形与圆的几何性质是“平面几何选讲”中的重要内容，也是新课程高考命题的一个热点内容，高考对这些内容的要求不高，只要能正确地运用它们解决一些简单的几何计算和证明问题就行了，一般说来，题目的难度不会太大，备考复习时，要以基础知识和基本方法为重点，把握好度，适当地进行一下训练，不要过多地在题型和技巧的操练方面花时间和下功夫，以减轻学生的负担，提高复习的效果．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛必备知识方法返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛必备知识1．相似三角形的判定和性质定理、射影定理(1)两角对应相等、三边对应成比例或两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．(2)相似三角形对应边上的高、中线和对应角的平分线以及周长比都等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方．(3)直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项；斜边上的高是这两条直角边在斜边上的射影的比例中项．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛2．圆中的有关定理(1)圆心角的度数等于它所对弧的度数，圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半．(2)圆的内接四边形对角互补，外角等于它的内角的对角．(3)弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．(4)如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛(5)经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．(6)圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的积相等；从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段比的比例中项．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛必备方法1．相似三角形是平面几何中极为重要的内容．从概念上看，相似是全等的拓展，全等只是相似的特殊情形，而且研究有关全等的各种问题几乎都可以平行地研究有关各种相似问题．2．圆是轴对称图形，利用这一点可研究垂径定理和圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理．关系定理使我们在圆心角、弧、弦、弦心距的证明中得以相互转化；垂径定理又可与等腰三角形的性质定理相沟通．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛3．直线和圆的相切的位置关系，以及由它引伸出来的一系列知识，如切线长定理、弦切角定理和圆有关的比例线段定理又是本节的重点，利用上述定理可很方便地证明角相等、线段相等、以及线段的比例问题．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛热点命题角度返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛命题角度一相似三角形的判定与性质[命题要点](1)证明三角形相似；(2)相似三角形的性质证明线段成比例．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛【例1】►(2012·南京、盐城三模)如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE＝AC，DE交AB于点F.求证：PF·PO＝PA·PB.[审题视点]由AE＝AC可得∠AOC＝∠AOE，从而证明△POC∽△PDF，结合切割线定理，证明PF·PO＝PA·PB.[听课记录]返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛证明连接OC，OE，则∠EOC＝2∠EDC.因为AE＝AC，所以∠AOC＝∠EOA，所以∠AOC＝∠EDC，所以∠POC＝∠PDF.又∠P＝∠P，所以△POC∽△PDF，所以POPD＝PCPF，即PF·PO＝PC·PD.又由割线定理，得PC·PD＝PA·PB，所以PF·PO＝PA·PB.返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛证明线段乘积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题．往往通过证明三角形相似或利用相交弦定理、切割线定理达到证题的目的．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛【突破训练1】(2012·苏、锡、常、镇调研)如图，自⊙O外一点P作⊙O的切线PC和割线PBA，点C为切点，割线PBA交⊙O于A，B两点，点O在AB上．作CD⊥AB，垂足为点D.求证：PCPA＝BDDC.返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛证明连接BC、AC，因为PC为⊙O的切线，所以∠PCB＝∠PAC.又因为∠BPC＝∠CPA，所以△PCB∽△PAC，从而PCPA＝BCAC，①在Rt△ACB中，因为CD⊥AB，所以∠BDC＝∠BCA＝90°.又因为∠DBC＝∠CBA，所以Rt△BDC∽Rt△BCA，从而BDDC＝BCCA，②由①②，得PCPA＝BDDC.返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛命题角度二圆内接四边形的性质与判定定理[命题要点](1)有关求角、求线段长、线段长度之比；(2)证明角、线段相等．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛【例2】►(2012·泰州期末)已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC.(1)求证：FB＝FC；(2)若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC＝120°，BC＝3，求AD的长．[审题视点](1)由四边形AFBC内接于圆得到∠DAC＝∠FBC，通过等量代换证明；(2)由AB是△ABC外接圆的直径，得△ACD是直角三角形，在Rt△ACD中求解．[听课记录]返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛(1)证明∵AD平分∠EAC，∴∠EAD＝∠DAC；∵四边形AFBC内接于圆，∴∠DAC＝∠FBC；∵∠EAD＝∠FAB＝∠FCB，∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC.(2)解∵AB是圆的直径，∴∠ACD＝90°.∵∠EAC＝120°，∴∠DAC＝12∠EAC＝60°，∠D＝30°.在Rt△ACB中，∵BC＝33，∠BAC＝60°，∴AC＝3，又在Rt△ACD中，∠D＝30°，AC＝3，∴AD＝6.返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛要充分运用圆内接四边形的性质，把问题转化到三角形中求解．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛【突破训练2】(2012·南通调研)如图，AD是∠BAC的平分线，⊙O过点A且与BC边相切于点D，与AB，AC分别交于E，F两点．求证：EF∥BC.返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛证明连接DE，可得∠DEF＝∠DAC.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠EAD＝∠DAC.∵BC切⊙O于点D，∴∠EAD＝∠EDB.∴∠DEF＝∠EDB.∴EF∥BC.返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛命题角度三弦切角定理、圆的切割线定理、相交弦定理的应用[命题要点](1)利用相似三角形的性质、弦切角定理证明角相等；求角．(2)利用圆的切割线定理、相交弦定理证明线段成比例、线段相等．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛【例3】►(2012·苏州模拟)如图，PA与⊙O相切于点A，D为PA的中点，过点D引割线交⊙O于B，C两点，求证：∠DPB＝∠DCP.[审题视点]可通过证明△BDP∽△PDC，来证明∠DPB＝∠DCP.[听课记录]返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛证明因为PA与圆相切于A，所以DA2＝DB·DC，因为D为PA中点，所以DP＝DA，所以DP2＝DB·DC，即PDDC＝DBPD.因为∠BDP＝∠PDC，所以△BDP∽△PDC，所以∠DPB＝∠DCP.返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛证明角相等的基本思路有：(1)证两个三角形相似；(2)用弦切角相等；(3)同弧所对的圆周角相等．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛【突破训练3】(2012·苏北四市质量检测)如图，∠PAQ是直角，圆O与AP相切于点T，与AQ相交于两点B，C.求证：BT平分∠OBA.返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛证明连接OT，因为AT是切线，所以OT⊥AP.又因为∠PAQ是直角，即AQ⊥AP，所以AB∥OT，所以∠TBA＝∠BTO.又OT＝OB，所以∠OTB＝∠OBT，所以∠OBT＝∠TBA，即BT平分∠OBA.返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛阅卷老师叮咛返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛21．规范作图用语，准确使用定理一、使用几何作图的规范用语【例1】►如图，⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，两弦位于圆心O的两侧，AB＝24cm，CD＝10cm，求AB和CD的距离．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛解过O作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，连接OB，OD，∵AB∥CD，∴E，O，F三点共线，∴EF即为所求的AB，CD的距离，∴BE＝12AB，DF＝12CD，∴在Rt△OBE中，∵OB＝13，BE＝12，∴OE＝5(cm)，在Rt△ODF中，OD＝13，DF＝12CD＝5，∴OF＝12(cm)，∴EF＝OE＋OF＝17(cm)即AB和CD的距离为17厘米．返回上页下页抓住命题方向必备知识方法热点命题角度阅卷老师叮咛老师叮咛：在本题辅助线的作法和叙述上易出现以下的错误：(1)作AB和CD的垂线段EF；(2)过O点作直线EF垂直AB和CD；(3)过O点作AB和CD的垂直平分线EF；(4)连接AB，CD的中点EF，并使之通过O点；(5)连接EF，使EF⊥AB，EF⊥CD.这些作法和叙述违反了几何作图的基本要求.在学习几